Теорема Лёба

Теорема Лёба — теорема в математической логике о взаимосвязи между доказуемостью утверждения и самим утверждением. Установлена математиком Мартином Хуго Лёбом в 1955 году.

Теорема Лёба гласит, что во всякой теории, включающей аксиоматику Пеано, для любого высказывания ${\displaystyle P}$ доказуемость высказывания «доказуемость ${\displaystyle P}$ влечет ${\displaystyle P}$» возможна только в случае доказуемости самого высказывания ${\displaystyle P}$. Символически эта теорема может быть записана следующим образом:

${\displaystyle \Box (\Box P\rightarrow P)\rightarrow \Box P.}$

Следствием теоремы Лёба является то, что только в противоречивой теории высказывание «доказуемость ${\displaystyle P}$ влечёт ${\displaystyle P}$» доказуемо для всех утверждений ${\displaystyle P}$.

Некоторые исследователи отмечают, что теорема Лёба может рассматриваться как результат формализации рассуждений, аналогичных парадоксу Карри, с помощью гёделевской нумерации.