Теорема Линника

Теорема Линника — утверждение теории чисел, являющееся усилением теоремы Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии. Теорема даёт верхнюю оценку на значение чисел, существование которых доказывает теорема Дирихле.

Теорема доказана Юрием Линником в 1944 году.

Для доказательства был использован математический аппарат характеров и функций Дирихле, типичный для задач, связанных с простыми числами в бесконечных арифметических прогрессиях[1][2].

Формулировка

Для взаимопростых чисел $a,d$ $(a<d)$ обозначим через $p(a,d)$ минимальное число в прогрессии вида $a+nd,n=0,1,2,\dots$ , являющееся простым.

Существуют такие абсолютные константы $c,L$ , что для любых взаимопростых $a,d$ $(a<d)$ выполняется $p(a,d)<cd^{L}$

Другие свойства и гипотезы

Из обобщённой гипотезы Римана следовало бы, что

p(a,d)\leq \varphi (d)^{2}{(\ln d)}^{2}

,

где $\varphi$ — функция Эйлера.

Существует также гипотеза, что $p(a,d)<d^{2}$

Улучшение оценок на показатель L

Показатель $L$ в оценке $p(a,d)<cd^{L}$ иногда называют константой Линника. Хотя ещё первая работа Линника показывала, что эта константа эффективно вычислима, однако в работе не делались попытки вычислить точное её значение. Впоследствии константа Линника многократно улучшалась. Ниже приведена история этих улучшений.

L ≤	Год публикации	Автор
10000	1957	Пан Ченгдонг[3]
5448	1958	Пан Ченгдонг
777	1965	Chen Jingrun[4]
630	1971	Matti Jutila
550	1970	Matti Jutila[5]
168	1977	Chen Jingrun[6]
80	1977	Matti Jutila[7]
36	1977	Сидней Грэхем[8]
20	1981	Сидней Грэхем[9]
17	1979	Chen Jingrun[10]
16	1986	Вонг
13,5	1989	Chen Jingrun и Liu[11][12]
8	1990	Вонг[13]
5,5	1992	Хиз-Браун[14]
5,18	2009	Xylouris[15]
5	2011	Xylouris[16]

См. также

Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии

Примечания

Linnik, Yu. V. On the least prime in an arithmetic progression I. The basic theorem (англ.) // Rec. Math. (Mat. Sbornik) N.S. : journal. — 1944. — Vol. 15, no. 57. — P. 139—178.
Linnik, Yu. V. On the least prime in an arithmetic progression II. The Deuring-Heilbronn phenomenon (англ.) // Rec. Math. (Mat. Sbornik) N.S. : journal. — 1944. — Vol. 15, no. 57. — P. 347—368.
Pan, Cheng Dong. On the least prime in an arithmetical progression (неопр.) // Sci. Record (N.S.). — 1957. — Т. 1. — С. 311—313.
Chen, Jingrun. On the least prime in an arithmetical progression (неопр.) // Sci. Sinica. — 1965. — Т. 14. — С. 1868—1871.
Jutila, Matti. A new estimate for Linnik's constant (неопр.) // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A I No.. — 1970. — Т. 471.
Chen, Jingrun. On the least prime in an arithmetical progression and two theorems concerning the zeros of Dirichlet's $L$-functions (англ.) // Sci. Sinica : journal. — 1977. — Vol. 20, no. 5. — P. 529—562.
Jutila, Matti. On Linnik's constant (неопр.) // Math. Scand.. — 1977. — Т. 41, № 1. — С. 45—62.
Graham, Sidney West (1977). Applications of sieve methods (Ph.D.). Ann Arbor, Mich: Univ. Michigan. MR 2627480.
Graham, S. W. On Linnik's constant (неопр.) // Acta Arith.. — 1981. — Т. 39, № 2. — С. 163—179.
Chen, Jingrun. On the least prime in an arithmetical progression and theorems concerning the zeros of Dirichlet's $L$-functions. II (англ.) // Sci. Sinica : journal. — 1979. — Vol. 22, no. 8. — P. 859—889.
Chen, Jingrun; Liu, Jian Min. On the least prime in an arithmetical progression. III (англ.) // Sci. China Ser. A : journal. — 1989. — Vol. 32, no. 6. — P. 654—673.
Chen, Jingrun; Liu, Jian Min. On the least prime in an arithmetical progression. IV (англ.) // Sci. China Ser. A : journal. — 1989. — Vol. 32, no. 7. — P. 792—807.
Wang, Wei. On the least prime in an arithmetical progression (англ.) // Acta Mathematica Sinica, New Series : journal. — 1991. — Vol. 7, no. 3. — P. 279—288.
Heath-Brown, Roger. Zero-free regions for Dirichlet L-functions, and the least prime in an arithmetic progression (англ.) // London Mathematical Society : journal. — 1992. — Vol. 64, no. 3. — P. 265—338. — doi:10.1112/plms/s3-64.2.265.
Xylouris, Triantafyllos. On Linnik's constant (неопр.) // Acta Arith.. — 2011. — Т. 150, № 1. — С. 65—91. — doi:10.4064/aa150-1-4.
Xylouris, Triantafyllos (2011). Über die Nullstellen der Dirichletschen L-Funktionen und die kleinste Primzahl in einer arithmetischen Progression [The zeros of Dirichlet L-functions and the least prime in an arithmetic progression] (Dissertation for the degree of Doctor of Mathematics and Natural Sciences) [нем.]. Bonn: Universität Bonn, Mathematisches Institut. MR 3086819.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Linnik, Yu. V. On the least prime in an arithmetic progression I. The basic theorem (англ.) // Rec. Math. (Mat. Sbornik) N.S. : journal. — 1944. — Vol. 15, no. 57. — P. 139—178.

[2] Linnik, Yu. V. On the least prime in an arithmetic progression II. The Deuring-Heilbronn phenomenon (англ.) // Rec. Math. (Mat. Sbornik) N.S. : journal. — 1944. — Vol. 15, no. 57. — P. 347—368.

[3] Pan, Cheng Dong. On the least prime in an arithmetical progression (неопр.) // Sci. Record (N.S.). — 1957. — Т. 1. — С. 311—313.

[4] Chen, Jingrun. On the least prime in an arithmetical progression (неопр.) // Sci. Sinica. — 1965. — Т. 14. — С. 1868—1871.

[5] Jutila, Matti. A new estimate for Linnik's constant (неопр.) // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A I No.. — 1970. — Т. 471.

[6] Chen, Jingrun. On the least prime in an arithmetical progression and two theorems concerning the zeros of Dirichlet's $L$-functions (англ.) // Sci. Sinica : journal. — 1977. — Vol. 20, no. 5. — P. 529—562.

[7] Jutila, Matti. On Linnik's constant (неопр.) // Math. Scand.. — 1977. — Т. 41, № 1. — С. 45—62.

[8] Graham, Sidney West (1977). Applications of sieve methods (Ph.D.). Ann Arbor, Mich: Univ. Michigan. MR 2627480.

[9] Graham, S. W. On Linnik's constant (неопр.) // Acta Arith.. — 1981. — Т. 39, № 2. — С. 163—179.

[10] Chen, Jingrun. On the least prime in an arithmetical progression and theorems concerning the zeros of Dirichlet's $L$-functions. II (англ.) // Sci. Sinica : journal. — 1979. — Vol. 22, no. 8. — P. 859—889.

[11] Chen, Jingrun; Liu, Jian Min. On the least prime in an arithmetical progression. III (англ.) // Sci. China Ser. A : journal. — 1989. — Vol. 32, no. 6. — P. 654—673.

[12] Chen, Jingrun; Liu, Jian Min. On the least prime in an arithmetical progression. IV (англ.) // Sci. China Ser. A : journal. — 1989. — Vol. 32, no. 7. — P. 792—807.

[13] Wang, Wei. On the least prime in an arithmetical progression (англ.) // Acta Mathematica Sinica, New Series : journal. — 1991. — Vol. 7, no. 3. — P. 279—288.

[heath-brown-14] Heath-Brown, Roger. Zero-free regions for Dirichlet L-functions, and the least prime in an arithmetic progression (англ.) // London Mathematical Society : journal. — 1992. — Vol. 64, no. 3. — P. 265—338. — doi:10.1112/plms/s3-64.2.265.

[15] Xylouris, Triantafyllos. On Linnik's constant (неопр.) // Acta Arith.. — 2011. — Т. 150, № 1. — С. 65—91. — doi:10.4064/aa150-1-4.

[16] Xylouris, Triantafyllos (2011). Über die Nullstellen der Dirichletschen L-Funktionen und die kleinste Primzahl in einer arithmetischen Progression [The zeros of Dirichlet L-functions and the least prime in an arithmetic progression] (Dissertation for the degree of Doctor of Mathematics and Natural Sciences) [нем.]. Bonn: Universität Bonn, Mathematisches Institut. MR 3086819.