Теорема Кэмпбелла

Предположим, что на вход линейной системы достаточно долго, до установления равновесного состояния, подаётся хаотическая последовательность одинаковых импульсов со средней частотой следования ${\displaystyle N}$ импульсов в секунду. Каждый импульс, приходящий в момент ${\displaystyle t=0}$, вызывает выходной сигнал системы ${\displaystyle f(t)}$. Тогда ${\displaystyle \langle \theta \rangle =N\int \limits _{0}^{\infty }f(t)dt}$ и ${\displaystyle \langle \delta \theta ^{2}\rangle \equiv \left\langle (\theta -\langle \theta \rangle )^{2}\right\rangle =N\int \limits _{0}^{\infty }f^{2}(t)dt}$. Здесь угловые скобки ${\displaystyle \langle \ \rangle }$ означают осреднение по ансамблю.

Предположим, что на ${\displaystyle RC}$-цепочку в случайном порядке подаются электроны, например с лампового диода. Вычислим флуктуации напряжения. Одиночный электрон, пролетающий в момент ${\displaystyle t=0}$, вызывает переменное напряжение ${\displaystyle f(t)={\frac {e}{C}}\exp \left(-{\frac {t}{RC}}\right)}$. Следовательно ${\displaystyle \langle V\rangle ={\frac {Ne}{C}}\int _{0}^{\infty }\exp \left(-{\frac {t}{RC}}\right)dt=NeR=JR}$, где ${\displaystyle J}$ — средний ток. Для дисперсии напряжения флуктуаций получаем ${\displaystyle \langle \delta V^{2}\rangle =\left\langle (V-\langle V\rangle )^{2}\right\rangle ={\frac {Ne^{2}}{C^{2}}}\int _{0}^{\infty }\exp \left(-{\frac {2t}{RC}}\right)dt={\frac {JeR}{2C}}}$. Первые оценки величины заряда электрона были получены именно измерением «дробового шума».

• Д. Мак-Доналд Введение в физику шумов и флуктуаций, М., Мир, 1964