Теорема Крылова — Боголюбова

• Условие ${\displaystyle F}$-инвариантности, ${\displaystyle F_{*}\mu =\mu }$, означает, что мера прообраза любого борелевского множества равна мере этого множества,

  ${\displaystyle \forall A\in {\mathcal {B}}(X)\quad \mu (F^{-1}(A))=\mu (A);}$

при этом в случае необратимого отображения ${\displaystyle F}$ мера ${\displaystyle F(A)}$ не обязана равняться мере ${\displaystyle A}$.

• Например, мера Лебега инвариантна для удвоения окружности ${\displaystyle x\mapsto 2x\mod 1}$, однако мера дуги ${\displaystyle \left[0,{\frac {1}{3}}\right]}$ не равна мере её образа, дуги ${\displaystyle \left[0,{\frac {2}{3}}\right]}$.

Доказательство теоремы опирается на так называемую процедуру Крылова — Боголюбова — процедуру выделения сходящейся подпоследовательности из последовательности временных средних произвольной начальной меры.

А именно, берётся произвольная начальная мера ${\displaystyle \mu _{0}}$, и рассматривается последовательность её временных средних:

${\displaystyle {\bar {\mu }}_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{j=0}^{n-1}F_{*}^{j}(\mu _{0}).}$

Временные средние являются всё более и более ${\displaystyle F}$-инвариантными:

${\displaystyle F_{*}{\bar {\mu }}_{n}={\bar {\mu }}_{n}+{\frac {1}{n}}(F_{*}^{n}(\mu _{0})-\mu _{0}).}$

Поэтому предел любой сходящейся подпоследовательности последовательности временных средних является инвариантной мерой для отображения ${\displaystyle F}$. Но пространство вероятностных мер на метрическом компакте ${\displaystyle F}$ компактно (в смысле *-слабой топологии), поэтому по меньшей мере одна точка накопления у последовательности ${\displaystyle {\bar {\mu }}_{n}}$ найдётся — что и завершает доказательство. ■

• В случае, если в качестве меры ${\displaystyle \mu _{0}}$ берётся мера Дирака (сосредоточенная в типичной начальной точке) или мера Лебега, сходимость последовательности ${\displaystyle {\bar {\mu }}_{n}}$ соответствует существованию меры Синая — Рюэлля — Боуэна.