Теорема Крылова — Боголюбова

Теорема Крылова — Боголюбова — утверждает существование инвариантных мер у «хороших» отображений, определённых на «хороших» пространствах. Существуют две вариации теоремы, для динамических систем и для марковских процессов

Теорема доказана математиком Н. М. Крыловым и физиком-теоретиком, математиком Н. Н. Боголюбовым.[1][2] (переиздано в[3]).

Динамическая формулировка

Пусть  — непрерывное отображение метрического компакта в себя. Тогда на существует хотя бы одна -инвариантная мера , которая может быть выбрана таким образом, что она будет неразложимой, или эргодической[4].

Замечания

  • Условие -инвариантности, , означает, что мера прообраза любого борелевского множества равна мере этого множества,
при этом в случае необратимого отображения мера не обязана равняться мере .
  • Например, мера Лебега инвариантна для удвоения окружности , однако мера дуги не равна мере её образа, дуги .

Доказательство

Доказательство теоремы опирается на так называемую процедуру Крылова — Боголюбова — процедуру выделения сходящейся подпоследовательности из последовательности временных средних произвольной начальной меры.

А именно, берётся произвольная начальная мера , и рассматривается последовательность её временных средних:

Временные средние являются всё более и более -инвариантными:

Поэтому предел любой сходящейся подпоследовательности последовательности временных средних является инвариантной мерой для отображения . Но пространство вероятностных мер на метрическом компакте компактно (в смысле *-слабой топологии), поэтому по меньшей мере одна точка накопления у последовательности найдётся — что и завершает доказательство.

Замечания

  • В случае, если в качестве меры берётся мера Дирака (сосредоточенная в типичной начальной точке) или мера Лебега, сходимость последовательности соответствует существованию меры Синая — Рюэлля — Боуэна.

Формулировка для марковских процессов

Пусть X — польское пространство и пусть (Pt) — семейство вероятностей перехода некоторой однородной марковской полугруппы на X, то есть

Если существует , для которого семейство вероятностных мер { Pt(x, ·) | t > 0 } uniformly tight и полугруппа (Pt) удовлетворяет Feller property, то существует по крайней мере одна инвариантная мера для (Pt), то есть такая вероятностная мера μ на X, что

Вариации и обобщения

  • Точно такие же рассуждения, только связанные с усреднением по последовательности Фёльнера, позволяют доказать, что для любого непрерывного действия аменабельной группы на метрическом компакте найдётся инвариантная относительно этого действия мера.

Ссылки

  1. Боголюбов Н. Н., Крылов Н. М. (1937): «Общая теория меры в нелинейной механике». — Киев.
  2. N. N. Bogoliubov and N. M. Krylov. La theorie generalie de la mesure dans son application a l'etude de systemes dynamiques de la mecanique non-lineaire (фр.) // Ann. Math. II. — 1937. Т. 38. С. 65—113. Zbl. 16.86.
  3. «Николай Николаевич Боголюбов. Собрание научных трудов в 12 томах. РАН. Том 1: Математика». — М.: Наука, 2005. ISBN 5-02-034463-X.
  4. Нелинейная динамика и хаос, 2011, с. 177.

Литература

  • Малинецкий Г. Г., Потапов А. Б. Нелинейная динамика и хаос: основные понятия. М.: Либроком, 2011. — 240 с. — ISBN 978-5-397-01583-7.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.