Теорема Зейферта — ван Кампена

Пусть ${\displaystyle X}$ — топологическое пространство, и ${\displaystyle V,U\subset X}$ — два связных открытых множества таких, что пересечение ${\displaystyle W=V\cap U}$ также связно, и ${\displaystyle X=V\cup U}$. Зафиксируем точку ${\displaystyle p\in W}$. Заметим, что включения

${\displaystyle W\hookrightarrow U,\quad W\hookrightarrow V,\quad U\hookrightarrow X,\quad V\hookrightarrow X}$

индуцируют гомоморфизмы соответствующих фундаментальных групп

${\displaystyle I\colon \pi _{1}(W,p)\to \pi _{1}(U,p)}$, ${\displaystyle J\colon \pi _{1}(W,p)\to \pi _{1}(V,p)}$, ${\displaystyle \pi _{1}(U,p)\to \pi _{1}(X,p)}$ и ${\displaystyle \pi _{1}(V,p)\to \pi _{1}(X,p)}$.

Согласно теореме Зейферта — ван Кампена, эти четыре гомоморфизма определяют кодекартов квадрат в категории групп, то есть

${\displaystyle \pi _{1}(X,p)=\pi _{1}(U,p)*_{\pi _{1}(W,p)}\pi _{1}(V,p).}$

• Если пересечение ${\displaystyle W}$ односвязно, то

  ${\displaystyle \pi _{1}(X,p)=\pi _{1}(U,p)*\pi _{1}(V,p),}$

то есть фундаментальна группа ${\displaystyle X}$ изоморфна свободному произведению фундаментальных групп ${\displaystyle U}$ и ${\displaystyle V}$.

• В частности,

${\displaystyle \pi _{1}(X_{1}\vee X_{2})=\pi _{1}(X_{1})*\pi _{1}(X_{2}),}$

для букета ${\displaystyle X_{1}\vee X_{2}}$ связных и локально односвязных пространств ${\displaystyle X_{1}}$ и ${\displaystyle X_{2}}$.

• Пространство односвязно если оно допускает покрытие двумя односвязными открытыми множествами со связным пересечением.
  • Например сферу ${\displaystyle X=S^{2}}$ можно покрыть двумя дисками ${\displaystyle U=S^{2}\backslash \{n\}}$ и ${\displaystyle V=S^{2}\backslash \{s\}}$, где ${\displaystyle n}$ и ${\displaystyle s}$ обозначают северный и южный полюсы соответственно. Заметим, что пересечение ${\displaystyle W=V\cap U=S^{2}\backslash \{n,s\}}$ связно. Значит, по теореме Зейферта — ван Кампена фундаментальная группа ${\displaystyle W}$ также тривиальна.

• Существует обобщение теоремы для фундаментальных группоидов. Она позволяет работать в случае если ${\displaystyle W}$ не связно.
• Последовательность Майера — Вьеториса — аналогичная теорема для подсчёта гомологий.

• В. В. Прасолов. Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии. — М.: МЦНМО, 2004. — 352 с.
• Seifert, H., Konstruction drei dimensionaler geschlossener Raume. Berichte Sachs. Akad. Leipzig, Math.-Phys. Kl. (83) (1931) 26–66.
• E. R. van Kampen. On the connection between the fundamental groups of some related spaces. American Journal of Mathematics, vol. 55 (1933), pp. 261—267.