Теорема Голода — Шафаревича

Теорема Голода-Шафаревича — теорема алгебры. Была сформулирована и доказана Е. С. Голодом и И. Р. Шафаревичем в 1964 г.[1][2] Важными следствиями из неё являются отрицательный ответ на проблему Куроша (существует ниль-алгебра, не являющаяся локально нильпотентной)[3], отрицательный ответ на общую проблему Бернсайда (существует периодическая группа, не являющаяся локально конечной)[4].

Условия

Пусть  — кольцо полиномов от некоммутирующих переменных над произвольным полем . Пусть является градуированной алгеброй благодаря определению на ней функции степени.

Представим в виде суммы подпространств , где , а имеет базис из элементов вида , где переменные выбираются из множества .

Назовем элементы пространства однородными элементами степени .

Пусть  — двусторонний идеал алгебры , порождённый однородными элементами степеней соответственно. Упорядочим так, чтобы . Число тех элементов , степени которых равны обозначим как .

Факторалгебра наследует градуировку из вследствие того, что идеал порожден однородными элементами.

Факторалгебра может быть представлена в виде суммы , где .

Пусть .

Формулировка

Алгебра , описанная в условиях теоремы, обладает следующими свойствами:

  1. для всех .
  2. Если для каждого , то бесконечномерна над .

Доказательство

Доказательство теоремы занимает страницы в книге [5]

См. также

Примечания

  1. Голод Е. С. О ниль-алгебрах и финитно-аппроксимируемых p-группах // Известия АН СССР. Серия математическая. — 1964. Т. 28, выпуск 2. С. 273—276.
  2. Голод Е. С., Шафаревич И. Р. О башне полей классов // Известия АН СССР. Серия математическая. — 1964. Т. 28, выпуск 2. С. 261—272.
  3. Некоммутативные кольца, 1972, с. 184.
  4. Некоммутативные кольца, 1972, с. 185.
  5. Некоммутативные кольца, 1972, с. 180-183.

Литература

  • Херстейн И. Некоммутативные кольца. М.: Мир, 1972. — 191 с.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.