Теорема Вигнера

Пусть H и K — гильбертовы пространства, T — отображение нормированных лучей ${\displaystyle \Psi }$ и ${\displaystyle \Phi }$ пространства H на множество нормированных лучей пространства K так, что при этом выполняется условие:

${\displaystyle \mid (T\Psi ,T\Phi )\mid =\mid (\Psi ,\Phi )\mid }$

Тогда существует оператор O из пространства H в пространство K, определённый с точностью до постоянного множителя, который порождает T и который аддитивен, то есть обладает свойством:

${\displaystyle O(\Psi _{1}+\Psi _{2})=O\Psi _{1}+O\Psi _{2}}$

и который является либо унитарным, то есть обладает свойством:

${\displaystyle (O\Psi ,O\Phi )=(\Psi ,\Phi )}$

либо антиунитарным, то есть обладает свойством:[2][3][4]

${\displaystyle (O\Psi ,O\Phi )={\overline {(\Psi ,\Phi )}}=(\Phi ,\Psi )}$

Доказательство см.[2][3]

Нормированным (или единичным) лучом называется совокупность всех единичных векторов в гильбертовом пространстве, коллинеарных с заданным вектором. Знак ${\displaystyle (...)}$ означает скалярное произведение в гильбертовом пространстве. Знак ${\displaystyle \mid ...\mid }$ означает операцию взятия модуля. Знак ${\displaystyle {\overline {(...)}}}$ означает операцию комплексного сопряжения.

• Вигнер Е. Теория групп и ее приложения к квантовомеханической теории атомных спектров. — М.: ИЛ, 1961. — 443 с.
• Боголюбов Н. Н., Логунов А. А., Тодоров, И. Т. Основы аксиоматического подхода в квантовой теории поля. — М.: Наука, 1969. — 424 с.