Теорема Вайнберга о связи полей с частицами

Теорема Вайнберга о связи полей с частицами — утверждение о связи между видом фурье-образов квантованных полей и операторами рождения и уничтожения частиц положительной массы. Доказана С. Вайнбергом в 1964 году [1][2][3][4]. Следствием этой теоремы являются зависимость типов полей от спина их квантов. При добавлении условия неприводимости поля по отношению к группе Пуанкаре можно получить уравнение Дирака для электрона, Вейля для нейтрино, Максвелла для фотона[5].

Формулировка

Для частиц положительной массы фурье-образы квантованных полей связаны с операторами рождения и уничтожения частиц линейными соотношениями[6]:

\alpha _{\sigma }(p)=\sum _{\tau =-j}^{j}X_{\sigma \tau }(p)a_{\tau }(p),

\beta _{\sigma }^{+}(p)=\sum _{\tau =-j}^{j}Y_{\sigma \tau }(p)b_{\tau }^{+}(p).

Пояснения

Оператор $a_{\sigma }(p)^{+}$ является оператором рождения новой частицы с импульсом $p$ и состоянием поляризации $\sigma$ . Оператор $a_{\sigma }(p)$ является оператором уничтожения существующей частицы с импульсом $p$ и состоянием поляризации $\sigma$ . Оператор $b_{\sigma }(p)^{+}$ является оператором рождения новой античастицы с импульсом $p$ и состоянием поляризации $\sigma$ . Оператор $b_{\sigma }(p)$ является оператором уничтожения существующей античастицы с импульсом $p$ и состоянием поляризации $\sigma$ . Состояние поляризации $\sigma$ может принимать значения $\sigma =-j,-j+1,..,j-1,j$ , где $j$ — спин квантов поля. Эти операторы удовлетворяют перестановочным соотношениям:

[a_{\sigma }(p),a_{\tau }^{+}(p)]_{\pm }=\delta _{\sigma \tau }\delta (p-p'),

[b_{\sigma }(p),b_{\tau }^{+}(p)]_{\pm }=\delta _{\sigma \tau }\delta (p-p').

Выражения $\alpha _{\sigma }(p)$ и $\beta _{\sigma }^{+}(p)$ обозначают фурье-образы квантованного поля $\psi _{\sigma }(x)$ , из формулы

\psi _{\sigma }(x)={(2\pi )}^{-{\frac {3}{2}}}\int \left\{\alpha _{\sigma }(p)e^{-i(px)}+\beta _{\sigma }^{+}e^{i(px)}\right\}\delta (p^{2}-m^{2})\theta (p^{0})dp,

где $(px)=p^{0}x^{0}-p^{1}x^{1}-p^{2}x^{2}-p^{3}x^{3}$ , функция $\theta (p^{0})$ равна единице при $p^{0}>0$ и нулю при $p^{0}<0$ [7]. Выражения $X_{\sigma \tau }(p)$ и $Y_{\sigma \tau }(p)$ обозначают коэффициенты, однозначно вычисляемые при помощи использования свойств преобразований квантованных полей относительно группы Лоренца[8].

Следствия

С использованием сформулированной выше теоремы Вайнберга о связи полей с частицами [9] может быть доказана, как следствие, Теорема Паули.

Примечания

S. Weinberg Feynman rules for any spin, I, Phys. Rev, 133, B1318-1332 (1964)
S. Weinberg Feynman rules for any spin, II, Massless particles, Ib, 134, B882-896 (1964)
S. Weinberg Photons and gravitons in S-matrix theory: derivation of charge conservation and equality of gravitational and inertial mass, Ib, 135, B1049-1056 (1964)
S. Weinberg Photons and gravitons in perturbation theory: derivation of Maxwell’s and Einstein’s equations, Ib, 138, B988-1002 (1965)
Румер, 2010, с. 5.
Румер, 2010, с. 188.
Румер, 2010, с. 179.
Румер, 2010, с. 189.
Румер, 2010, с. 198.

Литература

Румер Ю. Б., Фет А. И. Теория групп и квантованные поля. — М.: Либроком, 2010. — 248 с. — ISBN 978-5-397-01392-5.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] S. Weinberg Feynman rules for any spin, I, Phys. Rev, 133, B1318-1332 (1964)

[2] S. Weinberg Feynman rules for any spin, II, Massless particles, Ib, 134, B882-896 (1964)

[3] S. Weinberg Photons and gravitons in S-matrix theory: derivation of charge conservation and equality of gravitational and inertial mass, Ib, 135, B1049-1056 (1964)

[4] S. Weinberg Photons and gravitons in perturbation theory: derivation of Maxwell’s and Einstein’s equations, Ib, 138, B988-1002 (1965)

[_61354204e532a787-5] Румер, 2010, с. 5.

[_7462ee69eeac0aab-6] Румер, 2010, с. 188.

[_7462fb69eeac2093-7] Румер, 2010, с. 179.

[_7462ee69eeac0aaa-8] Румер, 2010, с. 189.

[_7462ed69eeac08d8-9] Румер, 2010, с. 198.