Теорема Банаха о неподвижной точке

Теорема Банаха о неподвижной точке — утверждение в метрической геометрии, гарантирующее наличие и единственность неподвижной точки у определённого класса отображений метрических пространств, также содержит конструктивный метод нахождения этой точки. Теорема названа в честь Стефана Банаха, польского математика, установившего это утверждение в 1922 году.

Теорема

Пусть  — непустое полное метрическое пространство.

Пусть  — сжимающее отображение на , то есть существует число такое, что

для всех из

Тогда у отображения существует, и притом единственная, неподвижная точка из (неподвижность означает , что )[1].

Число часто называют коэффициентом сжатия.

Если число равно 1, то есть отображение не сжимающее, теорема может не выполняться.

Доказательство

Возьмём произвольный фиксированный элемент метрического пространства и рассмотрим последовательность .

Таким образом получим последовательность .

Покажем, что эта последовательность фундаментальна. В самом деле:

По неравенству треугольника для .

Так как по условию , то . Отсюда следует, что при и любом .

Значит, последовательность фундаментальна.

В силу полноты пространства существует элемент , являющийся пределом этой последовательности .

Докажем, что .

По неравенству треугольника, . Так как , то для любого при достаточно большом и . Так как произвольно, то отсюда следует, что , то есть , что и требовалось доказать.

Докажем единственность неподвижной точки у отображения сжатия . Предположим, что существуют два различных элемента , такие, что . Тогда . Если допустить, что , то из предыдущего следует, что . Но это противоречит условию . Таким образом, наше допущение что неверно и .

Применение

Теорема Банаха используется в теории дифференциальных уравнений для доказательства существования и единственности решения некоторых классов краевых задач. В теории интегральных уравнений теорема используется для доказательства существования и единственности решения неоднородного линейного интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода, интегрального уравнения Вольтерры 2-го рода, некоторых видов нелинейных интегральных уравнений. Широкое применение теорема находит в численных методах, таких как метод Якоби, метод Гаусса — Зейделя, метод Ньютона также можно рассматривать с позиции теоремы Банаха. Также теорема нашла применение в теории фракталов.

Примечания

  1. Шилов, 1961, с. 48.

Литература

  • Краснов М. Л. Интегральные уравнения. — М.: Наука, 1975.
  • Шилов Г. Е. Математический анализ. Специальный курс. М.: Наука, 1961. — 436 с.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.