Сжимающее отображение

Пусть на метрическом пространстве ${\displaystyle (\mathbb {M} ,\rho )}$ определён оператор ${\displaystyle A:\mathbb {M} \to \mathbb {M} }$. Он называется сжимающим на ${\displaystyle \mathbb {M} }$, если существует такое неотрицательное число ${\displaystyle \alpha <1}$, что для любых двух точек ${\displaystyle x,y\in \mathbb {M} }$ выполняется неравенство

${\displaystyle {\rho (Ax,Ay)\leqslant \alpha {\cdot }\rho (x,y)}}$.

• (Непрерывность) Пусть ${\displaystyle (\mathbb {M} ,\rho )}$ — метрическое пространство и ${\displaystyle \mathbb {} A}$ — сжимающий оператор на ${\displaystyle \mathbb {M} }$. Тогда ${\displaystyle \mathbb {} A}$ — непрерывная функция на ${\displaystyle \mathbb {M} }$.

• (Неподвижная точка) По теореме Банаха у сжимающего отображения на полном метрическом пространстве существует единственная неподвижная точка:

${\displaystyle \mathbb {} x^{*}:Ax^{*}=x^{*}}$.

• (Итерационная последовательность) Если взять произвольный элемент метрического пространства ${\displaystyle x}$ и рассмотреть последовательность элементов ${\displaystyle x,Ax,A^{2}x,....}$, то эта итерационная последовательность будет сходиться к неподвижной точке оператора ${\displaystyle A}$.

• Численное решение уравнений
• Доказательство теорем существования и единственности в дифференциальных и интегральных уравнениях.

• А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — М.: Наука, 1976. — 544 с.
• Зорич В. А. Математический анализ, — Любое издание.