Теорема Амицура — Левицкого

Теорема Амицура — Левицкого — утверждение о равенстве нулю стандартного многочлена степени от произвольных матриц порядка . Установлена и доказана Шимшоном Авицуром (ивр. שמשון עמיצור) и Яковом Левицким в 1950 году. Прямое следствие этого результата — матрицы порядка образуют PI-кольцо с минимальной степенью тождеств, равной .

Определения и формулировка

Стандартный многочлен степени  — это:

,

где сумма берётся по всем элементам симметрической группы . Здесь означает знак перестановки , при этом не коммутируют.

Теорема Амицура — Левицкого утверждает, что для произвольных матриц порядка стандартный многочлен обращается в нуль:

.

Доказательства

Амицур и Левицкий дали первое доказательство теоремы в 1950 году.

Костант (англ. Bertram Kostant) в 1958 году вывел теорему Амицура — Левицкого из теоремы Козюля — Самельсона о простых когомологиях алгебр Ли[1].

Сван (англ. Richard Swan) в 1963 году дал простое комбинаторное доказательство[2][3]:

Ввиду линейности достаточно доказать теорему для случая, когда каждая матрица имеет только один ненулевой элемент, равный 1. В этом случае каждая матрица может быть представлена как направленная дуга графа с вершинами. Все матрицы вместе дают граф с вершинами и направленными дугами. Тождество теоремы равносильно утверждению, что для любых двух вершин и графа число нечётных эйлеровых путей из в равно числу чётных[4]. Сван показал, что при числе рёбер в графе и более число чётных и нечётных путей равно, откуда следует результат теоремы.

Размыслов в 1974 году построил доказательство, опирающееся на теорему Гамильтона — Кэли[5].

Россет в 1976 году дал короткое доказательство, использующее внешнюю алгебру векторного пространства размерности [6].

Примечания

  1. Констант, 1958.
  2. Сван, 1963.
  3. Сван, 1969.
  4. Пути называются чётными или нечётными в зависимости от того, какую перестановку рёбер данный путь порождает — чётную или нечётную.
  5. Размыслов, 1974.
  6. Россет, 1976.

Ссылки

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.