Совершенная группа

Совершенная группа[1] ― группа ${\displaystyle G}$, такая что отображение ${\displaystyle G\to Aut(G)}$ является изоморфизмом. Это отображение посылает элемент ${\displaystyle g\in G}$ в автоморфизм сопряжения ${\displaystyle s_{g}:h\to ghg^{-1}}$. Инъективность этого отображения равносильна тривиальности центра, а сюръективность — тому, что каждый автоморфизм является внутренним.

Другое значение этого термина: группа, совпадающая со своим коммутантом

Примерами являются симметрические группы ${\displaystyle S_{n}}$ при ${\displaystyle n\neq 2,6}$ (теорема Гёльдера); при этом группа ${\displaystyle S_{2}=\mathbb {Z} _{2}}$ имеет нетривиальный центр, а у группы ${\displaystyle S_{6}}$ существует внешний автоморфизм.

Автоморфизмы простой группы образуют почти простую группу, а автоморфизмы неабелевой простой группы — совершенную группу.

Не любая группа, изоморфная своей группе автоморфизмов, является совершенной — необходимо, чтобы изоморфизм осуществлялся отображением сопряжения. Примером группы, для которой ${\displaystyle G=Aut(G)}$, но которая не является совершенной, является группа диэдра ${\displaystyle D_{4}}$[2].