Скобки Лагранжа

Ско́бки Лагра́нжа — бинарная операция в гамильтоновой механике, тесно связанная с другой бинарной операцией, скобками Пуассона. Скобки Лагранжа были введены Лагранжем в 1808—1810 для математических выражений в классической механике. В отличие от скобок Пуассона, в настоящее время скобки Лагранжа практически не используются.

Определение

Пусть (q1, , qn, p1, , pn) — система канонических координат в фазовом пространстве. Если каждую из них выразить как функцию двух переменных, u и v, то скобки Лагранжа от u и v определяются формулой

Следует отметить, что эта формула совпадает с определением скобок Пуассона с точностью до перестановки числителей и знаменателей в операторах частных производных.

Свойства

  • Скобки Лагранжа (как и скобки Пуассона) антикоммутативны, что очевидно непосредственно из определения:
  • Скобки Лагранжа не зависят от системы канонических координат (q, p). Если (Q,P) = (Q1, , Qn, P1, , Pn) является другой системой канонических координат, то
является каноническим преобразованием, так что скобки Лагранжа являются инвариантом преобразования, в том смысле, что
Вследствие этого индексы, показывающие канонические координаты, часто опускаются.
  • Если Ω является симплектическим пространством в 2n-мерном фазовом пространстве W и u1, , u2n образует систему координат в W, то канонические координаты (q, p) могут быть выражены как функции от координат u и матрица скобок Лагранжа
представляет компоненты Ω, рассматриваемые как тензор в координатах u. Эта матрица является обратной к матрице, образованной скобками Пуассона
в координатах u.
  • Как следствие предыдущих свойств, координаты (Q1, , Qn, P1, , Pn) в фазовом пространстве являются каноническими тогда и только тогда, когда скобки Лагранжа между ними имеют вид

См. также

Литература

  • Cornelius Lanczos. The Variational Principles of Mechanics. — Dover, 1986. — ISBN 0-486-65067-7.
  • Patrick Iglesias. Les origines du calcul symplectique chez Lagrange // L'Enseign. Math. — 1998. Т. (2) 44, вып. 3-4. С. 257–277.MR: 1659212

Ссылки

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.