Система Трахтенберга

Пусть даны два числа — ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$, выглядящие в десятичной записи как ${\displaystyle \ldots a_{2}a_{1}a_{0}}$ и ${\displaystyle \ldots b_{2}b_{1}b_{0}}$. Стандартный алгоритм умножения ${\displaystyle a}$ на ${\displaystyle b}$ предписывает умножить ${\displaystyle a}$ на все разряды ${\displaystyle b_{0},b_{1},b_{2},\ldots }$ по очереди и сложить результаты, учитывая их сдвиг. Трахтенберг предлагает взамен считать ${\displaystyle n}$-ый разряд ответа как сумму переноса из предыдущего разряда и ${\displaystyle \sum _{i+j=n}a_{i}b_{j}}$, не записывая промежуточные вычисления.

Действительно, разложим

${\displaystyle \sum _{i}a_{i}10^{i}\cdot \sum _{j}b_{j}10^{j}}$

по дистрибутивности: слагаемые ${\displaystyle a_{i}b_{j}10^{i+j}}$ с ${\displaystyle i+j<n}$ влияют на разряд ${\displaystyle 10^{n}}$ только в виде переноса, а с ${\displaystyle i+j>n}$ — вообще не влияют.

Например, умножим 12345 на 21.

перенос	${\displaystyle \sum _{i+j=n}a_{i}b_{j}}$	Всего	Цифра
0	5*1	5	5
0	4*1+5*2	14	4
1	3*1+4*2	11	2
1	2*1+3*2	8	9
0	1*1+2*2	5	5
0	1*2	2	2

Итого, читая снизу вверх, получается 259245. Яков Трахтенберг предлагает делать вычисления, записанные в таблице выше, в уме, выписывая только результат.

• Метод упоминается в фильме «Одарённая» (2017)

• Trachtenberg, J. (1960). The Trachtenberg Speed System of Basic Mathematics. Doubleday and Company, Inc., Garden City, NY, USA.
• Катлер Э., Мак-Шейн Р. Система быстрого счёта по Трахтенбергу, 1967.
• Rushan Ziatdinov, Sajid Musa. Rapid mental computation system as a tool for algorithmic thinking of elementary school students development. European Researcher 25(7): 1105—1110, 2012.