Символ Гильберта

Следующие три свойства прямо следуют из определения с помощью выбора подходящего решения для диофантова уравнения, указанного в определении, и выполняются для любого локального поля ${\displaystyle K}$:

• ${\displaystyle (a^{2},b)=1}$ для любых ${\displaystyle a,b}$.
• ${\displaystyle (a,b)=(b,a)}$ для любых ${\displaystyle a,b}$.
• Для любого ${\displaystyle a\in K^{\times }}$, такого что ${\displaystyle a-1\in K^{\times }}$, верно, что ${\displaystyle (a,1-a)=1}$

Бимультипликативность, то есть

${\displaystyle (a,b_{1}b_{2})=(a,b_{1})\cdot (a,b_{2})}$

для любых ${\displaystyle a,b_{1},b_{2}\in K^{\times }}$. Это свойство является более трудным для доказательства и требует разработки локальной теории полей классов.

Третье свойство показывает, что символ Гильберта является примером символа Штейнберга и, таким образом, factors над второй K-группе Милнора ${\displaystyle K_{2}^{M}(K)}$, которая определяется как

${\displaystyle K^{\times }\otimes K^{\times }/(a\otimes (1-a),a\in K\setminus \{0;1\})}$

По первому свойству он even factors над ${\displaystyle K_{2}^{M}(K)/2}$. Это первый шаг в направлении к гипотезе Милнора.

Символ Гильберта может быть также использован для обозначения центральной простой алгебры над ${\displaystyle K}$ с базисом ${\displaystyle 1,i,j,k}$ и правилами умножения ${\displaystyle i^{2}=a}$, ${\displaystyle j^{2}=b}$, ${\displaystyle ij=-ji=k}$.

Для точки (англ. place) ${\displaystyle v}$ из поля рациональных чисел и рациональных чисел ${\displaystyle a,b}$ обозначим ${\displaystyle (a,b)_{v}}$ символ Гильберта в соответствующем пополнении ${\displaystyle \mathbb {Q} _{v}}$. Как обычно, если ${\displaystyle v}$ это показатель, связанный с простым числом ${\displaystyle p}$, то соответствующее пополнение является полем ${\displaystyle p}$-адических чисел, а если ${\displaystyle v}$ является бесконечной точкой, то пополнение является полем действительных чисел.

В поле действительных чисел, ${\displaystyle (a,b)_{\infty }=+1}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle a>0}$ или ${\displaystyle b>0}$, и ${\displaystyle (a,b)_{\infty }=-1}$, если оба ${\displaystyle a,b<0}$.

Над ${\displaystyle p}$-адическими числами с нечётным ${\displaystyle p}$ положим ${\displaystyle a=p^{\alpha }u}$ и ${\displaystyle b=p^{\beta }v}$, где ${\displaystyle u,v}$ — целые числа, взаимно простые с ${\displaystyle p}$, тогда мы получим

${\displaystyle (a,b)_{p}=(-1)^{\alpha \beta \epsilon (p)}\left({\frac {u}{p}}\right)^{\beta }\left({\frac {v}{p}}\right)^{\alpha }}$, где ${\displaystyle \epsilon (p)=(p-1)/2}$

а ${\displaystyle \left({\frac {u}{p}}\right),\left({\frac {v}{p}}\right)}$ — символы Лежандра.

Над ${\displaystyle 2}$-адическими числами положим ${\displaystyle a=2^{\alpha }u}$ и ${\displaystyle b=2^{\beta }v}$, где ${\displaystyle u,v}$ — нечётные числа, тогда мы получим

${\displaystyle (a,b)_{2}=(-1)^{\epsilon (u)\epsilon (v)+\alpha \omega (v)+\beta \omega (u)}}$, where ${\displaystyle \omega (x)=(x^{2}-1)/8.}$

Известно, что если ${\displaystyle v}$ пробегает все точки (англ. place), ${\displaystyle (a,b)_{v}=1}$ для почти всех точек. Следовательно, следующая формула с бесконечным произведением

${\displaystyle \prod _{v}(a,b)_{v}=1}$

имеет смысл. Эта формула эквивалентна квадратичному закону взаимности.

Символ Гильберта на поле ${\displaystyle F}$ определяется как отображение

${\displaystyle (\cdot ,\cdot ):F^{\times }/(F^{\times })^{2}\times F^{\times }/(F^{\times })^{2}\rightarrow \mathop {Br} (F)}$

где ${\displaystyle \mathop {Br} (F)}$ — группа Брауэра поля ${\displaystyle F}$. Ядро этого отображения — множество всех элементов ${\displaystyle a}$ таких, что ${\displaystyle (a,b)=1}$ для всех ${\displaystyle b}$ — это радикал Капланского поля ${\displaystyle F}$.[1]

Радикал является подгруппой ${\displaystyle F^{\times }/(F^{\times })^{2}}$, отождествляемой с подгруппой of ${\displaystyle F^{\times }}$. Радикал содержит группу, равную ${\displaystyle F^{\times }}$ если и только если ${\displaystyle F}$ не является формально вещественным и имеет u-инвариант не более 2.[2] С другой стороны, поле с радикалом ${\displaystyle (F^{\times })^{2}}$ называется полем Гильберта.[3]

Символ Гильберта мультипликативен по обеим аргументам (билинеен):

${\displaystyle (ab,c)=(a,c)(b,c)}$

${\displaystyle (a,bc)=(a,b)(a,c)}$

кососимметричен:

${\displaystyle (a,b)=(b,a)^{-1}}$

невырожден:

${\displaystyle (a,b)=1}$ для всех ${\displaystyle b}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle a\in (K^{\times })^{n}}$

Он замечает норму (поэтому и называется символ норменного вычета):

${\displaystyle (a,b)=1}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle a}$ — норма элемента из ${\displaystyle K({\sqrt[{n}]{b}})}$

Он обладает свойствами символа Штейнберга:

${\displaystyle (a,1-a)=1;(a,-a)=1.}$

Закон взаимности Гильберта утверждает, что если ${\displaystyle a,b}$ лежат в поле алгебраических чисел, которое содержит корни ${\displaystyle n}$-й степени из единицы, то[5]

${\displaystyle \prod _{p}(a,b)_{p}=1}$

где ${\displaystyle p}$ пробегает конечные и бесконечные простые числового поля, а ${\displaystyle (a,b)_{p}}$ — это символ Гильберта в пополнении по ${\displaystyle p}$. Закон взаимности Гильберта следует из закона взаимности Артина и определения символа Гильберта через символ Артина.

Если ${\displaystyle K}$ — числовое поле, содержащее корни ${\displaystyle n}$-й степени из единицы, ${\displaystyle p}$ — простой идеал, не делящий ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle \pi }$ — простой элемент локального поля от ${\displaystyle p}$, а ${\displaystyle a}$ взаимно просто с ${\displaystyle p}$, то символ степенного вычета ${\displaystyle {\binom {a}{p}}}$, связанный с символом Гильберта соотношением[6]

${\displaystyle {\binom {a}{p}}=(\pi ,a)_{p}}$

Символ степенного вычета расширяется до дробных идеалов по мультипликативности и определяется для элементов поля чисел, полагая ${\displaystyle {\binom {a}{b}}={\binom {a}{(b)}}}$, где ${\displaystyle (b)}$ — главный идеал, порождённый ${\displaystyle b}$. Закон взаимности Гильберта влечёт следующий закон взаимности для символа степенного вычета: для взаимно простых ${\displaystyle a,b}$ друг к другу и к ${\displaystyle n}$:

${\displaystyle {\binom {a}{b}}={\binom {b}{a}}\prod _{p|n,\infty }(a,b)_{p}}$