Ряд подгрупп

Субнормальный ряд (называемый также субнормальной башней, субинвариантным рядом, субнормальной матрёшкой или просто рядом) группы ${\displaystyle \displaystyle G}$ — это последовательность подгрупп

${\displaystyle \{1\}=G_{0}\subseteq G_{1}\subseteq \cdots \subseteq G_{n}=G,}$

каждая из которых есть нормальная подгруппа в большей подгруппе, следующей непосредственно за ней, то есть ${\displaystyle \displaystyle G_{i}\triangleleft G_{i+1}}$. Если, кроме того, каждая из подгрупп ${\displaystyle G_{i}}$ нормальна в группе ${\displaystyle \displaystyle G}$, то ряд называется нормальным.

Факторгруппы ${\displaystyle G_{i+1}/G_{i}}$ называются факторгруппами ряда.

Ряд с дополнительным свойством ${\displaystyle \displaystyle G_{i}\neq G_{i+1}}$ для всех ${\displaystyle \displaystyle i}$ называется рядом без повторов. Длина ряда — это число собственных включений ${\displaystyle \displaystyle G_{i}\varsubsetneq G_{i+1}}$. Если ряд не имеет повторов, то его длина равна ${\displaystyle \displaystyle n}$.

Для субнормального ряда, его длина — это число нетривиальных факторгрупп ряда. Каждая нетривиальная группа имеет субнормальный ряд длины 1, а именно ряд ${\displaystyle \{1\}=G_{0}\varsubsetneq G_{1}=G}$. Каждая собственная нормальная подгруппа определяет субнормальный ряд длины 2. Для простых групп тривиальный ряд длины 1 является единственным возможным субнормальным рядом.

Ряды подгрупп могут быть записаны в восходящем порядке

${\displaystyle \{1\}=G_{0}\subseteq G_{1}\subseteq \cdots \subseteq G_{n}=G,}$

либо в нисходящем порядке

${\displaystyle G=G_{0}\supseteq G_{1}\cdots \supseteq G_{n}=\{1\}.}$

Для конечного ряда нет разницы в какой форме он записан — как восходящий или как нисходящий ряд. Однако для бесконечного ряда уже есть различие: восходящий ряд ${\displaystyle \{1\}=G_{0}\subseteq G_{1}\subseteq \cdots \subseteq G,}$ имеет наименьший элемент, непосредственно следующий за ним элемент, затем следующий, и так далее, но может не иметь максимального элемента, отличного от ${\displaystyle \displaystyle G}$. Нисходящий ряд ${\displaystyle G=G_{0}\supseteq G_{1}\supseteq \cdots \supseteq \{1\}}$, наоборот, имеет наибольший элемент, но может не иметь наименьшего элемента, отличного от ${\displaystyle \displaystyle \{1\}}$.

Группа, которая удовлетворяет условию обрыва возрастающих цепей, называется нётеровой. Это условие означает, что для такой группы не существует бесконечной цепочки подгрупп, возрастающей относительно отношения включения. Соответственно, группа, удовлетворяющая условию обрыва убывающих цепей, называется артиновой; эта терминология аналогична выделению артиновых и нётеровых колец.

Группа может быть нётеровой и не быть артиновой, пример — аддитивная группа целых чисел. В отличие от колец, группа может быть артиновой и не быть нётеровой, пример — группа Прюфера.

Факторгруппы и подгруппы нётеровых групп являются нётеровыми. Более того, расширение нётеровой группы при помощи нётеровой группы является нётеровой группой (это значит, что если данная группа имеет нётерову нормальную подгруппу, факторгруппа по которой нётерова, то и сама эта группа нётерова). Для артиновых групп верны аналогичные утверждения.

Условие нётеровости группы эквивалентно также условию, что любая подгруппа данной группы является конечнопорождённой.

Бесконечные ряды подгрупп определяются естественным образом: в этом случае нужно зафиксировать некоторое бесконечное линейно упорядоченное индексное множество. Восходящий ряд ${\displaystyle \{1\}=G_{0}\subseteq G_{1}\subseteq \cdots \subseteq G}$, для которого индексное множество — множество натуральных чисел, часто называют просто бесконечным восходящим рядом. Если подгруппы ряда занумерованы порядковыми числами, то получается трансфинитный ряд,[1] например, ряд

${\displaystyle \{1\}=G_{0}\subseteq G_{1}\subseteq \cdots \subseteq G_{\omega }\subseteq G_{\omega +1}=G.}$

Если задана рекурсивная формула для элементов ряда, то можно определять трансфинитный ряд при помощи трансфинитной рекурсии. При этом на предельных порядковых числах элементы восходящего трансфинитного ряда задаются формулой

${\displaystyle G_{\lambda }=\bigcup _{\alpha <\lambda }G_{\alpha },}$

а элементы нисходящего трансфинитного ряда — формулой

${\displaystyle G_{\lambda }=\bigcap _{\alpha <\lambda }G_{\alpha }.}$

Другие линейно упорядоченные множества редко возникают в качестве индексирующих множеств в рядах подгрупп. Например, можно рассмотреть двусторонне-бесконечный ряд подгрупп, индексированный целыми числами:

${\displaystyle \{1\}\subseteq \cdots \subseteq G_{-1}\subseteq G_{0}\subseteq G_{1}\subseteq \cdots \subseteq G.}$