Ряд Дайсона

Изучается система, описывается гамильтонианом, который является суммой невозмущенной части и возмущения:

${\displaystyle {\hat {H}}={\hat {H}}_{0}+{\hat {V}}}$

В представлении взаимодействия оператор эволюции волновой функции ${\displaystyle {\hat {U}}(t,t_{0})}$ удовлетворяет уравнению Томонаги — Швингера

${\displaystyle i\hbar {\frac {{\hat {U}}(t,t_{0})}{dt}}={\hat {V}}(t){\hat {U}}(t,t_{0})}$,

где

${\displaystyle {\hat {V}}(t)=e^{i/\hbar {\hat {H}}_{0}t}{\hat {V}}e^{-i/\hbar {\hat {H}}_{0}t},}$

или интегродифференциальному уравнению

${\displaystyle {\hat {U}}(t,t_{0})=1-{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}{\hat {V}}(t_{1}){\hat {U}}(t_{1},t_{0})dt_{1}}$

Подставляя оператор эволюции из левой части в правую, можно получить бесконечный ряд:

${\displaystyle {\hat {U}}(t,t_{0})=1-{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}{\hat {V}}(t_{1})dt_{1}+{\frac {(-i)^{2}}{\hbar ^{2}}}\int _{t_{0}}^{t}\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\hat {V}}(t_{1}){\hat {V}}(t_{2})dt_{1}dt_{2}+\ldots }$

Дайсон предложил расширить интегрирования в каждом интеграле от ${\displaystyle t_{0}}$ до ${\displaystyle t}$, но требовать, чтобы операторы всегда были упорядочены во времени, то есть в произведении ${\displaystyle {\hat {V}}(t_{1}){\hat {V}}(t_{2})}$, всегда было ${\displaystyle t_{1}>t_{2}}$. Тогда каждый из слагаемых ряда увеличится в ${\displaystyle n!}$ раз.

В результате n-ный член ряда будет выглядеть:

${\displaystyle {\hat {U}}_{n}={\frac {(-i)^{n}}{n!\hbar ^{n}}}\int _{t_{0}}^{t}{dt_{1}\int _{t_{0}}^{t}{dt_{2}\cdots \int _{t_{0}}^{t}{dt_{n}{\mathcal {T}}{\hat {V}}(t_{1}){\hat {V}}(t_{2})\cdots {\hat {V}}(t_{n})}}}.}$,

где ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ — оператор временного упорядочивания.

Как следствие, ряд Дайсона можно записать в компактном виде:

${\displaystyle {\hat {U}}(t,t_{0})=\sum _{n=0}^{\infty }{\hat {U}}_{n}(t,t_{0})={\mathcal {T}}e^{-i/\hbar \int _{t_{0}}^{t}{d\tau {\hat {V}}(\tau )}}.}$

• А. Г. Ситенко. Лекции по теории рассеяния (рус.). — Вища школа, 1971. — 260 с.