Ребро (геометрия)

Ребро в геометрии — отрезок, соединяющий две вершины многоугольника или многогранника (в размерностях 3 и выше)[1]. В многоугольниках ребро является отрезком, лежащим на границе[2] и чаще называется стороной многоугольника. В трёхмерных многогранниках и в многогранниках большей размерности ребро — это отрезок, общий для двух граней[3]. Отрезок, соединяющий две вершины и проходящий через внутренние или внешние точки, ребром не является и называется диагональю.


Три ребра AB, BC и CA, каждое из которых соединяет две вершины треугольника.
Многоугольник, ограниченный рёбрами (в данном случае — квадрат, имеющий 4 ребра).

Каждое ребро является общим для двух граней многогранника, в данном случае, куба.
Любое ребро является общим для трёх и более граней четырёхмерного многогранника, как видно на этой проекции тессеракта.

Связь с рёбрами графа

Любой многогранник может быть представлен его рёберным скелетом, то есть графом, вершинами которого служат геометрические вершины многогранника, а рёбра графа соответствуют геометрическим рёбрам[4]. И обратно, графы, являющиеся скелетами трёхмерных многогранников по теореме Штайница — то же самое, что вершинно k-связные планарные графы[5].

Число рёбер в многограннике

Любая поверхность выпуклого многогранника имеет эйлерову характеристику

где  — число вершин,  — число рёбер, а  — число граней. Это равенство известно как формула Эйлера. Таким образом, число рёбер на 2 меньше суммы числа вершин и граней. Например, куб имеет 8 вершин и 6 граней, а потому (по формуле) 12 рёбер.

Инцидентность другим граням

В многоугольнике в каждой вершине сходятся два ребра (стороны). По теореме Балинского по меньшей мере рёбер сходятся в каждой вершине -мерного выпуклого многогранника[6]. Аналогично, в трёхмерном многограннике в точности две двумерные грани имеют общее ребро[7], в то время как в многогранниках более высоких размерностей общее ребро могут иметь три и более двумерных граней.

Альтернативная терминология

В теории выпуклых многогранников высоких размерностей (свыше 3) фасета (сторона -мерного многогранника) — это -мерная грань. Таким образом, рёбра (стороны) многоугольника являются также фасетами (для трёхмерных многогранников фасетами будут грани)[8].

См. также
  • Продолжение стороны

Примечания
  1. Ziegler, 1995, с. 51, Definition 2.1.
  2. Weisstein, Eric W. «Polygon Edge.» From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/PolygonEdge.html
  3. Weisstein, Eric W. «Polytope Edge.» From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/PolytopeEdge.html
  4. Senechal, 2013, с. 81.
  5. Pisanski, Randić, 2000, с. 174–194.
  6. Balinski, 1961, с. 431–434.
  7. Wenninger, 1974, с. 1.
  8. Seidel, 1986, с. 404–413.

Литература
  • Günter M. Ziegler. Lectures on Polytopes. — Springer, 1995. — Т. 152. — (Graduate Texts in Mathematics).
  • M. L. Balinski. On the graph structure of convex polyhedra in n-space // Pacific Journal of Mathematics. — 1961. — Vol. 11. — Вып. 2. — doi:10.2140/pjm.1961.11.431.
  • Magnus J. Wenninger. Polyhedron Models. — Cambridge University Press, 1974. — ISBN 9780521098595.
  • Marjorie Senechal. Shaping Space: Exploring Polyhedra in Nature, Art, and the Geometrical Imagination. — Springer, 2013. — ISBN 9780387927145.
  • Tomaž Pisanski, Milan Randić. Geometry at work / Catherine A. Gorini. — Washington, DC: Math. Assoc. America, 2000. — Т. 53. — (MAA Notes).. См., в частности, теорему 3, стр. 176.
  • Raimund Seidel. Proceedings of the Eighteenth Annual ACM Symposium on Theory of Computing (STOC '86). — 1986. — doi:10.1145/12130.12172.

Ссылки
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.