Расчёт надёжности

Структурные методы являются основными методами расчета показателей надёжности в процессе проектирования объектов, поддающихся разукрупнению на элементы, характеристики надёжности, которых в момент проведения расчетов известны или могут быть определены другими методами. Расчет показателей надёжности структурными методами в общем случае включает:

• представление объекта в виде структурной схемы, описывающей логические соотношения между состояниями элементов и объекта в целом с учетом структурно-функциональных связей и взаимодействия элементов, принятой стратегии обслуживания, видов и способов резервирования и других факторов;
• описание построенной структурной схемы надёжности объекта адекватной математической моделью, позволяющей в рамках введенных предположений и допущений вычислить показатели надёжности объекта по данным о надёжности его элементов в рассматриваемых условиях применения.

В качестве структурных схем надёжности могут применяться:

• схемы функциональной целостности;
• структурные блок-схемы надёжности;
• деревья отказов;
• графы состояний и переходов.

В логико-вероятностных методах (ЛВМ) исходная постановка задачи и построение модели функционирования исследуемого системного объекта или процесса осуществляется структурными и аналитическими средствами математической логики, а расчет показателей свойств надёжности, живучести и безопасности выполняется средствами теории вероятностей.

ЛВМ являются методологией анализа структурно-сложных систем, решения системных задач организованной сложности, оценки и анализа надёжности, безопасности и риска технических систем. ЛВМ удобны для исходной формализованной постановки задач в форме структурного описания исследуемых свойств функционирования сложных и высокоразмерных систем. В ЛВМ разработаны процедуры преобразования исходных структурных моделей в искомые расчетные математические модели, что позволяет выполнить их алгоритмизацию и реализацию на ЭВМ.

Основоположником научно-технического аппарата ЛВМ и прикладных аспектов их применения, а также создателем и руководителем научной школы является профессор Рябинин И. А..

Необходимость распространения ЛВМ на немонотонные процессы привела к созданию общего логико-вероятностного метода (ОЛВМ). В ОЛВМ расчета надёжности аппарат математической логики используется для первичного графического и аналитического описания условий реализации функций отдельными и группами элементов в проектируемой системе, а методы теории вероятностей и комбинаторики применяются для количественной оценки безотказности и/или опасности функционирования проектируемой системы в целом. Для использования ОЛВМ должны задаваться специальные структурные схемы функциональной целостности исследуемых систем, логические критерии их функционирования, вероятностные и другие параметры элементов.

В основе постановки и решения всех задач моделирования и расчета надёжности систем с помощью ОЛВМ лежит так называемый событийно-логический подход. Этот подход предусматривает последовательное выполнение следующих четырёх основных этапов ОЛВМ:

• этап структурно-логической постановки задачи;
• этап логического моделирования;
• этап вероятностного моделирования;
• этап выполнения расчетов показателей надёжности.

В системе с последовательной структурой отказ любого компонента приводит к отказу системы в целом.

Система логических уравнений для приведенной выше последовательной системы:

Пример последовательной системы.

${\displaystyle {\begin{cases}y_{1}=x_{1},\\y_{2}=y_{1}\land x_{2},\\y_{3}=y_{2}\land x_{3}.\end{cases}}}$

Логическая функция работоспособности (решение системы логических уравнений):

${\displaystyle Y_{s}=x_{1}\land x_{2}\land x_{3}.}$

Вероятность безотказной работы:

${\displaystyle P_{s}=p_{1}\cdot p_{2}\cdot p_{3},}$

где ${\displaystyle p_{1},p_{2},p_{3}}$ — вероятности безотказной работы компонентов.

В общем случае вероятность безотказной работы системы равна:${\displaystyle P_{s}=\prod _{i=1}^{N}p_{i}.}$

Пример параллельной системы.

В системе с параллельной структурой отказ системы в целом происходит только при отказе всех элементов.

Система логических уравнений для приведенной параллельной системы: ${\displaystyle {\begin{cases}y_{1}=x_{1},\\y_{2}=x_{2},\\y_{3}=x_{3}.\end{cases}}}$

Логическая функция работоспособности (решение системы логических уравнений):

${\displaystyle Y_{p}=x_{1}\lor x_{2}\lor x_{3}.}$

Вероятность безотказной работы:

${\displaystyle P_{p}=1-(1-p_{1})\cdot (1-p_{2})\cdot (1-p_{3}).}$

В общем случае вероятность безотказной работы системы равна:

${\displaystyle P_{p}=1-\prod _{i=1}^{N}(1-p_{i}).}$

Вероятность того, что в системе, состоящей из ${\displaystyle n}$ одинаковых (равнонадёжных) элементов, безотказно работают ровно ${\displaystyle k}$ элементов, может быть вычислена по формуле[4]:

${\displaystyle P_{e}(t,k,n)={\binom {n}{k}}p(t)^{k}q(t)^{n-k},\quad k=0,1,2,\ldots ,n}$,

где

${\displaystyle p(t)}$ — вероятность безотказной работы элемента системы;

${\displaystyle q(t)=1-p(t);}$

${\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}}$ — биномиальный коэффициент из ${\displaystyle n}$ по ${\displaystyle k}$.

Вероятность того, что в системе, состоящей из ${\displaystyle n}$ одинаковых и равнонадежных элементов, безотказно работают не менее ${\displaystyle k}$ элементов, может быть вычислена по формуле[4]:

${\displaystyle P(k)=\sum _{i=k}^{n}{{\binom {n}{i}}p(t)^{i}q(t)^{n-i}}.}$

Вероятность того, что в системе, состоящей из ${\displaystyle n}$ одинаковых и равнонадёжных элементов, безотказно работают не менее ${\displaystyle k}$ элементов, может быть выражена через вероятности безотказной работы аналогичной системы меньшей размерности[4]:

${\displaystyle P(k)=P(k-1)+P_{e}(t,k,n).}$