Пси-функция Дедекинда

Пси-функция Дедекинда — это мультипликативная функция, определённая на положительных целых числах как

\psi (n)=n\prod _{p|n}\left(1+{\frac {1}{p}}\right),

где произведение берётся по всем простым p, делящим n (по соглашению, ψ(1) является пустым произведением, а потому имеет значение 1). Функцию предложил Рихард Дедекинд применительно к модулярным функциям.

Значение функции ψ(n) для первых нескольких целых чисел n:

1, 3, 4, 6, 6, 12, 8, 12, 12, 18, 12, 24 ... (последовательность A001615 в OEIS).

Значение функции ψ(n) больше n для всех n, больших 1, и чётно для всех n, больших 2. Если n свободно от квадратов, то ψ(n) = σ(n).

Функцию ψ можно определить, положив $\psi (p^{n})=(p+1)p^{n-1}$ для степеней простого числа p и распространив затем это определение на все целые числа согласно мультипликативности. Это приводит к доказательству порождающей функции в терминах дзета-функции Римана, которая равна

\sum {\frac {\psi (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)\zeta (s-1)}{\zeta (2s)}}.

Это является также следствием факта, что мы можем записать как свёртку Дирихле $\psi =\mathrm {Id} *|\mu |$ .

Высокие порядки

Обобщением к высоким порядкам через жорданов тотиент

\psi _{k}(n)={\frac {J_{2k}(n)}{J_{k}(n)}}

с рядом Дирихле

\sum _{n\geqslant 1}{\frac {\psi _{k}(n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)\zeta (s-k)}{\zeta (2s)}}

.

Это также свёртка Дирихле степеней и квадратов функции Мёбиуса,

\psi _{k}(n)=n^{k}*\mu ^{2}(n)

.

Если

\epsilon _{2}=1,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0\ldots

является характеристической функцией квадратов, другая свёртка Дирихле приводит к обобщённой σ-функции,

\epsilon _{2}(n)*\psi _{k}(n)=\sigma _{k}(n)

.

Примечания

Литература

Goro Shimura. Introduction to the Arithmetic Theory of Automorphic Functions. — Princeton, 1971. — С. 25, equation (1).
Carella N. A. Squarefree Integers And Extreme Values Of Some Arithmetic Functions. — 2010.
Richard J. Mathar. Survey of Dirichlet series of multiplicative arithmetic functions. — 2011. Section 3.13.2
A065958 is ψ₂, A065959 is ψ₃, and A065960 is ψ₄

Ссылки

Weisstein, Eric W. Dedekind Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.