Простые числа Рамануджана

В 1845 году Бертран выдвинул гипотезу, что

${\displaystyle \pi (x)-\pi ({\frac {x}{2}})\geq 1}$, для всех ${\displaystyle x\geq 2}$, где ${\displaystyle \pi (x)}$ — функция распределения простых чисел, равная числу простых не превосходящих ${\displaystyle x}$.

Эта гипотеза была доказана Чебышёвым в 1850 году. В 1919 году Рамануджан, отметив приоритет Чебышёва, доказал в двухстраничной статье более сильную теорему, которая и задаёт последовательность простых чисел Рамануджана:[1]

${\displaystyle \pi (x)-\pi \left({\frac {x}{2}}\right)\geq 1,2,3,4,5,\ldots }$ для всех ${\displaystyle x\geq 2,11,17,29,41,\ldots }$ соответственно, (последовательность A104272 в OEIS).

Простое число Рамануджана ${\displaystyle R_{n}}$ это наименьшее целое число, что для любого ${\displaystyle x\geqslant R_{n}}$ выполнено

${\displaystyle \pi (x)-\pi \left({\frac {x}{2}}\right)\geqslant n}$

Согласно теореме Рамануджана эта разность для всех ${\displaystyle x\geq R_{n}}$ не меньше ${\displaystyle n}$ и стремится к бесконечности.

Следует отметить, что ${\displaystyle R_{n}}$обязательно является простым числом: ${\displaystyle \pi (x)-\pi \left({\frac {x}{2}}\right)}$, а следовательно и ${\displaystyle \pi (x)}$ должно возрасти, что возможно только если ${\displaystyle R_{n}}$ простое.

Оценка посредством элементарных функций:

${\displaystyle 2n\ln 2n<R_{n}<4n\ln 4n}$[2]

Оценка посредством простых чисел:

${\displaystyle p_{2n}<R_{n}<p_{3n}}$,[2][3] где ${\displaystyle p_{n}}$ — ${\displaystyle n}$-ое простое число.

Асимптотика:

${\displaystyle R_{n}\sim p_{2n}}$ при ${\displaystyle n\to \infty }$[2].

Уточнённая оценка сверху:

${\displaystyle R_{n}\leq {\frac {41}{47}}\ p_{3n}}$[4]

Все эти результаты были доказаны после 2008 года.