Преобразования Галилея

Если ИСО S' движется относительно ИСО S с постоянной скоростью ${\displaystyle u\ }$ вдоль оси ${\displaystyle x\ }$, а начала координат совпадают в начальный момент времени в обеих системах, то преобразования Галилея имеют вид:

${\displaystyle x=x'+ut,\ }$

${\displaystyle {y}=y',\ }$

${\displaystyle {z}=z',\ }$

${\displaystyle t=t'\ }$

или, используя векторные обозначения,

${\displaystyle {\vec {r}}={\vec {r}}'+{\vec {u}}t,\ }$

${\displaystyle t=t'\ }$

(последняя формула остаётся верной для любого направления осей координат).

• Как видим, это просто формулы для сдвига начала координат, линейно зависящего от времени (подразумеваемого одинаковым для всех систем отсчёта).

Из этих преобразований следуют соотношения между скоростями движения точки и её ускорениями в обеих системах отсчёта:

${\displaystyle {\vec {v}}={\vec {v'}}+{\vec {u}},}$

${\displaystyle {\vec {a}}={\vec {a'}}}$

• Преобразования Галилея являются предельным (частным) случаем преобразований Лоренца для малых скоростей ${\displaystyle u\ll c}$ (много меньше скорости света).

Достаточно продифференцировать ${\displaystyle {\vec {r}}}$ в формуле преобразований Галилея, приведённой выше, и сразу же получится приведённая в том же параграфе рядом формула преобразования скорости.

Приведём более элементарный, но и более общий вывод — для случая произвольного движения начала отсчёта одной системы относительно другой (при отсутствии вращения). Для такого более общего случая, можно получить формулу преобразования скоростей, например, так.

Рассмотрим преобразование произвольного сдвига начала отсчёта на вектор ${\displaystyle {\vec {r}}_{o}}$,

где радиус-вектор какого-то тела A в системе отсчёта K обозначим за ${\displaystyle {\vec {r}}}$, а в системе отсчёта K'  — за ${\displaystyle {\vec {r'}}}$,

подразумевая, как всегда в классической механике, что время ${\displaystyle t}$ в обеих системах отсчёта одно и то же, а все радиус-векторы зависят от этого времени: ${\displaystyle {\vec {r}}_{o}={\vec {r}}_{o}(t),{\vec {r}}={\vec {r}}(t),{\vec {r'}}={\vec {r'}}(t)}$.

Тогда в любой момент времени

${\displaystyle {\vec {r}}={\vec {r}}_{o}+{\vec {r'}}}$

и в частности, учитывая

${\displaystyle \Delta {\vec {r}}={\vec {r}}(t+\Delta t)-{\vec {r}}(t),~\Delta {\vec {r}}_{o}={\vec {r}}_{o}(t+\Delta t)-{\vec {r}}_{o}(t),~\Delta {\vec {r'}}={\vec {r'}}(t+\Delta t)-{\vec {r'}}(t)}$,

имеем:

${\displaystyle {\begin{matrix}{\vec {r}}(t)={\vec {r}}_{o}(t)+{\vec {r'}}(t)\\{\vec {r}}(t+\Delta t)={\vec {r}}_{o}(t+\Delta t)+{\vec {r'}}(t+\Delta t)\end{matrix}}{\Bigg \}}\quad \Rightarrow \quad \Delta {\vec {r}}=\Delta {\vec {r}}_{o}+\Delta {\vec {r'}}\quad \Rightarrow \quad {\frac {\Delta {\vec {r}}}{\Delta t}}={\frac {\Delta {\vec {r}}_{o}}{\Delta t}}+{\frac {\Delta {\vec {r'}}}{\Delta t}}}$

${\displaystyle \Rightarrow \quad \langle {\vec {V}}\rangle =\langle {\vec {V}}_{o}\rangle +\langle {\vec {V'}}\rangle }$

где:

${\displaystyle \langle {\vec {V}}\rangle }$ — средняя скорость тела A относительно системы K;

${\displaystyle \langle {\vec {V}}'\rangle }$ — средняя скорость тела А относительно системы K' ;

${\displaystyle \langle {\vec {V}}_{o}\rangle }$ — средняя скорость системы K' относительно системы K.

Если ${\displaystyle \Delta t\rightarrow 0}$ то средние скорости совпадают с мгновенными:

${\displaystyle {\vec {V}}\;=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}\;{\Bigg (}\langle {\vec {V}}_{o}\rangle +\langle {\vec {V'}}\rangle {\Bigg )}={\vec {V}}_{o}+{\vec {V'}}}$

или короче

${\displaystyle {\vec {V}}\;={\vec {V}}_{o}+{\vec {V'}}}$

— как для средних, так и для мгновенных скоростей (формула сложения скоростей).

Таким образом, скорость тела относительно неподвижной системы координат равна векторной сумме скорости тела относительно движущейся системы координат и скорости системы отсчёта относительно неподвижной системы отсчёта.

• (Аналогично можно получить формулу преобразования ускорений при переходе из одной системы координат в другую, верную при условии, что движение систем друг относительно друга равноускоренное и поступательное: ${\displaystyle {\vec {a}}={\vec {a'}}+{\vec {a_{o}}}}$).

Уравнение Шрёдингера в нерелятивистской квантовой механике инвариантно относительно преобразований Галилея. Из этого факта вытекает ряд важных следствий: существование ряда операторов квантовой механики, связанных с преобразованиями Галилея (группа Шрёдингера), невозможность описания состояний со спектром масс или нестабильные элементарные частицы в нерелятивистской квантовой механике (теорема Баргмана), существование квантовомеханических инвариантов, порождаемых преобразованиями Галилея[5].

• Кемпфер Ф. Основные положения квантовой механики. — М.: Мир, 1967. — 391 с.

• Инерциальная система отсчёта
• Принцип относительности Эйнштейна
• Классическая механика
• Преобразования Лоренца
• Сложение скоростей
• Сложное движение
• Физика в конспектах — wiki-книга
• Группа Шрёдингера
• Теорема Баргмана