Подгруппа Бореля

Подгруппы между борелевской подгруппой B и содержащей её группой G называются параболическими подгруппами. Параболическая подгруппа P характеризуется среди алгебраических подгрупп условием, что G/P является полным многообразием. Над алгебраически замкнутыми полями борелевские подгруппы оказываются минимальными параболическими подгруппами в этом смысле. Таким образом, B является борелевской подгруппой, когда однородное пространство G/B является полным многообразием, которое является «как можно большим».

Для простой алгебраической группы G множество классов сопряжённости параболических подгрупп находится в биективном соответствии со множеством всех подмножеств узлов соответствующей диаграммы Дынкина. Борелевская подгруппа соответствует пустому множеству, а сама группа G соответствует множеству всех узлов. (В общем случае каждый узел диаграммы Дынкина определяет простой отрицательный корень и, тем самым, одномерную «группу корней» группы G --- подмножество узлов тогда образует параболическую подгруппу, образованную группой B и соответствующими группами отрицательных корней. Более того, любая параболическая подгруппа смежна такой параболической подгруппе).

Пусть ${\displaystyle G=GL_{4}(\mathbb {C} )}$. Подгруппой Бореля ${\displaystyle B}$ группы ${\displaystyle G}$ является множество верхних треугольных матриц

${\displaystyle \left\{A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\0&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\0&0&a_{33}&a_{34}\\0&0&0&a_{44}\end{bmatrix}}:\det(A)\neq 0\right\}}$

и максимальными собственными параболическими подгруппами группы ${\displaystyle G}$, содержащими ${\displaystyle B}$, будут

${\displaystyle \left\{{\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\0&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\0&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\0&a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{bmatrix}}\right\},{\text{ }}\left\{{\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\0&0&a_{33}&a_{34}\\0&0&a_{43}&a_{44}\end{bmatrix}}\right\},{\text{ }}\left\{{\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\0&0&0&a_{44}\end{bmatrix}}\right\}}$

Максимальным тором в ${\displaystyle B}$ является

${\displaystyle \left\{{\begin{bmatrix}a_{11}&0&0&0\\0&a_{22}&0&0\\0&0&a_{33}&0\\0&0&0&a_{44}\end{bmatrix}}:a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33}\cdot a_{44}\neq 0\right\}}$

Ясно, что тор должен быть изоморфен алгебраическому тору ${\displaystyle (\mathbb {C} ^{*})^{4}={\text{Spec}}(\mathbb {C} [x^{\pm 1},y^{\pm 1},z^{\pm 1},w^{\pm 1}])}$.[1]

Для специальных случаев алгебры Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ с подалгеброй Картана ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ подалгебра Бореля является прямой суммой ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ и весовых пространств алгебры ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ с положительным весом. Подалгебра Ли алгебры ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, содержащая подалгебру Бореля, называется параболической алгеброй Ли.

• Гиперболическая группа

• Popov, V.L. (2001), Parabolic subgroup, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Platonov, V.P. (2001), Borel subgroup, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4