Максимальный тор

Максимальный тор связной вещественной группы Ли $G$ — связная компактная коммутативная подгруппа Ли $T$ в $G$ , не содержащаяся ни в какой большей подгруппе такого типа.

Свойства

Как группа Ли, максимальный тор $T$ изоморфен прямому произведению нескольких копий «окружности» $S^{1}$ (мультипликативной группы всех комплексных чисел, равных по модулю $1$ ).
Всякий максимальный тор группы $G$ содержится в максимальной компактной подгруппе группы $G$ ;
Любые два максимальных тора группы $G$ (так же, как и любые две её максимальные компактные подгруппы) сопряжены в $G$ .
Пусть, далее, $G$ $\text{[math]}$ является компактной группой.
- Объединение всех максимальных торов группы $G$ совпадает с $G$ ,
- пересечение всех максимальных торов группы $G$ совпадает с центром $G$ .
- Алгебра Ли максимального тора $T$ $\text{[math]}$ является максимальной коммутативной подалгеброй в алгебре Ли $g$ $\text{[math]}$ группы $G$ $\text{[math]}$ . Более того,
  - всякая максимальная коммутативная подалгебра в $g$ так получается.
- Централизатор максимального тора $T$ в $G$ совпадает с $T$ .

Литература

Понтрягин Л.С., Непрерывные группы, 3 изд., М., 1973;
Желобенко Д.П., Компактные группы Ли и их представления, М., 1970;
Хелгасон С., Дифференциальная геометрия и симметрические пространства, пер. с англ., М., 1964.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.