Петля (топология)

Петля в топологическом пространстве X — это непрерывное отображение f единичного отрезка I = [0,1] в X, такое что f(0) = f(1). Другими словами, это путь, начальная точка которого совпадает с конечной[1].

Две петли a и b на торе.

Петлю можно также рассматривать как непрерывное отображение f единичной окружности S¹ в X, поскольку S¹ можно считать факторпространством I при отождествлении 0 с 1.

Пусть X — топологическое пространство, x₀ ∈X. Непрерывное отображение l: S¹ → X, такое что l(1) = x₀, называется круговой петлёй в x₀[2]. Каждой круговой петле в точке x₀ можно сопоставить петлю пространства X в той же точке, взяв композицию l с отображением I →S¹, заданным формулой t →e^2πit. Всякая петля может быть получена из круговой петли таким образом.

Круговые петли называются гомотопными (или эквивалентными), если они {1}-гомотопны (то есть если гомотопия между ними является связанной в точке 1 ∈S¹). Соответствующие классы эквивалентности называются гомотопическими классами петель.

Непустое топологическое пространство называется односвязным, если оно линейно связно и всякая петля в нём гомотопна постоянной петле[2].

Множество гомотопических классов петель в точке образует группу с операцией композиции путей. Эта группа называется фундаментальной группой пространства X в отмеченной точке x₀.

Множество всех петель в X образует пространство, называемое пространством петель пространства X[1].