Парадокс Браеса

Предположим, автомобилисты хотят попасть из пункта Start в пункт End. Имеется два пути — через город A и через город B. Время пути от пункта Start до города A зависит от плотности потока и равно количеству автомобилей (T), делённому на 100. Путь от пункта Start до города B не зависит от количества автомобилей и равен 45 минутам. Аналогично, путь из А в пункт назначения занимает 45 минут, а время в пути от B до пункта назначения равно T/100. Если A и B не соединены, то время по маршруту Start-A-End будет равно ${\displaystyle {\tfrac {A}{100}}+45}$, а на маршрут Start-B-End будет затрачено ${\displaystyle {\tfrac {B}{100}}+45}$. Если бы один из путей был короче, то отсутствовало бы равновесие Нэша, каждый рациональный водитель переключился бы на более короткий маршрут. Допустим, у нас выехало из точки Start 4000 автомобилей, тогда из того, что ${\displaystyle A+B=4000}$, можно вывести, что система придёт в равновесие, когда ${\displaystyle A=B=2000}$. Следовательно, независимо от выбранной дороги автомобиль будет в пути ${\displaystyle {\tfrac {2000}{100}}+45=65}$ минут.

Теперь предположим, что пунктирная линия между A и B представляет собой новый, очень короткий путь, езда по которому занимает приблизительно 0 минут. В этой ситуации все водители предпочтут маршрут Start-A маршруту Start-B, потому что маршрут Start-A займёт в самом худшем случае ${\displaystyle {\tfrac {T}{100}}={\tfrac {4000}{100}}=40}$ минут, в то время как маршрут Start-B гарантированно занимает 45. В узле A каждый рациональный водитель предпочтёт добраться по короткому пути до B и затем доехать до пункта назначения, потому что маршрут A-End гарантировано занимает 45 минут, а маршрут A-B-End в самом худшем случае займёт только ${\displaystyle 0+{\tfrac {4000}{100}}=40}$ минут. Таким образом, время в пути для каждого водителя станет ${\displaystyle {\tfrac {4000}{100}}+{\tfrac {4000}{100}}=80}$ минут, то есть после строительства новой дороги время в пути возросло на 15 минут.

Если бы водители договорились не пользоваться дорогой между A и B, то они бы сэкономили это время, но поскольку каждый отдельный водитель выгадывает время, пользуясь дорогой A-B, то такое распределение не является социально оптимальным, в чём проявляется парадокс Браеса.

В качестве примеров проявления парадокса Браеса в реальной жизни приводят улучшение ситуации на дорогах в Штутгарте после закрытия для движения секции одной из новых дорог[2]. В 1990 году закрытие 42-й улицы в Нью-Йорке сократило количество дорожных заторов в этом районе[3].

Математик Алексей Савватеев утверждает, что парадокс Браеса обычно долго не длится: дорожные службы уже через несколько месяцев исправляют ситуацию. Около своего дома, в Метрогородке, он поймал такой пример: проезд по улицам Щёлковское шоссе — проспект Ветеранов длится 1 час. Лесная дорога, ведущая из Метрогородка к проспекту Ветеранов, отнимает 20 минут. К Щёлковскому шоссе накатали 10-минутную колею (ныне асфальтовая дорога). Пропускная способность той и другой на порядок меньше, чем у шоссе, и небольшой процент машин, желающих срезать по грунтовкам, совершенно не разгрузил шоссе, однако из-за них жители Метрогородка встали в 30-минутной пробке (1 ч − 10 − 20 = 30)[4].

• D. Braess, Über ein Paradoxon aus der Verkehrsplanung. Unternehmensforschung 12, 258—268 (1968)
• A. Rapoport, T. Kugler, S. Dugar, and E. J. Gisches, Choice of routes in congested traffic networks: Experimental tests of the Braess Paradox. Games and Economic Behavior 65 (2009)
• T. Roughgarden. «The Price of Anarchy.» MIT Press, Cambridge, MA, 2005.

• Software Testing Paradoxes
• Домашняя страница Браеса