Нормальная форма Пуанкаре — Дюлака

По определению, резонансом для набора ${\displaystyle (\lambda _{1},\;\ldots ,\;\lambda _{n})\in \mathbb {C} ^{n}}$ называется равенство

${\displaystyle \lambda _{j}=\langle \lambda ,\;k\rangle ,}$

((*))

где ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} ^{n},\;k_{1},\;\ldots ,\;k_{n}\geqslant 0,\;k_{1}+\ldots +k_{n}\geqslant 2}$.

Резонансным мономом векторного поля, линейная часть которого приведена к жордановой нормальной форме с собственными значениями ${\displaystyle \lambda _{1},\;\ldots ,\;\lambda _{n}}$, называется моном

${\displaystyle z^{k}\partial /\partial z_{j},}$

где ${\displaystyle z^{k}=z_{1}^{k_{1}}\ldots z_{n}^{k_{n}}}$ и для ${\displaystyle \lambda }$ и ${\displaystyle k}$ выполнено (*).

Указанный в теореме вид называется резонансной формальной нормальной формой Пуанкаре — Дюлака.

Говорят, что вектор ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} ^{n}}$ принадлежит области Пуанкаре, если ноль не лежит в выпуклой оболочке точек ${\displaystyle \lambda _{1},\;\ldots ,\;\lambda _{n}\in \mathbb {C} \sim \mathbb {R} ^{2}}$. В противном случае говорят, что он принадлежит области Зигеля. Наконец, в случае, если ноль принадлежит выпуклой оболочке вместе с некоторой своей окрестностью, говорят, что вектор ${\displaystyle \lambda }$ принадлежит строгой области Зигеля.

В случае вектора собственных значений, принадлежащего области Пуанкаре, резонансная нормальная форма Пуанкаре — Дюлака на самом деле полиномиальна. В случае таких собственных значений, можно утверждать, что векторное поле аналитически эквивалентно своей резонансной формальной нормальной форме.

Теорема Левелля, описывающая резонансную нормальную форму фуксовой особой точки

${\displaystyle {\dot {z}}={\frac {A(t)}{t}}z}$

может рассматриваться как линейный по ${\displaystyle z}$ вариант нормальной формы Пуанкаре — Дюлака для расширенной системы

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}{\dot {z}}=A(t)z,\\{\dot {t}}=t.\end{array}}\right.}$