Неравенство Римана — Пенроуза

Неравенство Римана — Пенроуза — важный частный случай неравенства Пенроуза, впервые предугаданного и предложенного Роджером Пенроузом в 1973 году в общей теории относительности.

Неравенство Пенроуза связывает минимальную массу тела с площадью охватывающей его ловушечной поверхности чёрной дыры и является обобщением теоремы о положительной массе.

Неравенство Римана — Пенроуза утверждает: если (M, g) — асимптотически плоское Риманово 3-многообразие с неотрицательной скалярной кривизной и АДМ массой m, а A — это площадь самой внешней минимальной поверхности (возможно, с несколькими связными компонентами), то:

Это чисто геометрический факт, и он соответствует случаю полного трёхмерного, пространственно-подобного, полностью геодезического подмногообразия (3 + 1)-мерного пространства-времени. Такое подмногообразие часто называют симметричным по времени начальным набором данных для пространства-времени. Условие (M, g) наличия неотрицательной скалярной кривизны эквивалентно пространству-времени, подчиняющемуся условию доминирования энергии[1].

Это неравенство впервые было доказано Герхардом Уискеном и Томом Ильманеном в 1997 году в том случае, когда A — это площадь наибольшего компонента самого внешнего минимума поверхности. Их доказательство опиралось на механизм слабо определённого потока обратной средней кривизны, который они и разработали. В 1999 году Хьюберт Брей дал первое полное доказательство вышеприведённого неравенства с использованием конформного потока метрик. Обе статьи были опубликованы в 2001 году.

Физическая мотивация

Исходные физические соображения, которые привели Пенроуза к предположению о таком неравенстве, опирались на теорему Хокинга о площади чёрной дыры и принцип космической цензуры[2].

Случай равенства

Как Брей, так и Уискен-Ильманен доказывают, что неравенство Римана — Пенроуза превращается в равенство:

если рассматриваемое многообразие изометрично срезу пространства-времени Шварцшильда за пределами самой внешней минимальной поверхности[3].

Гипотеза Пенроуза

Следует развивать различные версии, различные пути, являющиеся следствием предложенной Эйнштейном общей теории относительности, но рассматривая её с иной точки зрения.

— Роджер Пенроуз[4]

В более общем плане Пенроуз предположил, что неравенство, описанное выше, должно иметь место для пространственно-подобных подмногообразий пространства-времени, которые не обязательно симметричны по времени. В этом случае неотрицательная скалярная кривизна заменяется доминирующим энергетическим условием, и одна из возможностей заключается в замене минимального поверхностного условия видимым условием горизонта[5].

Доказательство такого неравенства остаётся открытой проблемой в общей теории относительности, называемой гипотезой Пенроуза[6].

Квантовое неравенство Пенроуза

Известно квантовое обобщение неравенства Пенроуза, основанное на замене классического понятия площади ловушечной поверхности на квантовое понятие обобщенной энтропии на световом листе[7].

В популярной культуре
  • В эпизоде 6 8-го сезона телевизионного сериала «Теория Большого Взрыва» доктор Шелдон Купер утверждает, что находится в процессе решения гипотезы Пенроуза и одновременно сочиняет речь, надеясь получить за положительный результат Нобелевскую премию.

Примечания
  1. Huisken, G.; Ilmanen, T. The Riemannian Penrose inequality (англ.) // International Mathematics Research Notices. — 1997. — Vol. 1997, no. 20. — P. 1045—1058. — ISSN 1073-7928. — doi:10.1155/S1073792897000664.
  2. Bray H.L., Chruściel P.T. The Einstein Equations and the Large Scale Behavior of Gravitational Fields. — Basel: Birkhäuser, 2004. — P. 39-40. — 485 p. — ISBN ISBN 978-3-0348-9634-4.
  3. Huisken, G.; Ilmanen, T. The inverse mean curvature flow and the Riemannian Penrose inequality (англ.) // Journal of Differential Geometry : journal. — 2001. — Vol. 59, no. 3. — P. 353—437. — doi:10.4310/jdg/1090349447.
  4. Р. Пенроуз. Пресс-конференция сэра Роджера Пенроуза // Гиперкомплексные числа в геометрии и физике : Журнал. — 2013. — Т. 10, № 1(19). — С. 17—18.
  5. Bray, H. Proof of the Riemannian Penrose inequality using the positive mass theorem (англ.) // Journal of Differential Geometry : journal. — 2001. — Vol. 59, no. 2. — P. 177—267. — doi:10.4310/jdg/1090349428. — .
  6. The Penrose Inequality (англ.). arXiv® (30 октября 2018). Дата обращения: 4 июня 2020.
  7. Raphael Bousso, Arvin Shahbazi-Moghaddam, and Marija Tomašević Quantum Penrose Inequality // Phys. Rev. Lett. 123, 241301 — Published 10 December 2019

Ссылки
    This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.