Неравенство Адамара

Нера́венство Адама́ра (также теорема Адамара об определителях[1]), определяет верхнюю границу объёма тела в -мерном евклидовом пространстве, заданного векторами. Названо в честь Жака Адамара.

Формулировка

Пусть , а  — матрица, столбцами которой являются векторы . Тогда

где  — евклидова норма вектора.

Другими словами, с точки зрения геометрии объём -мерного тела максимален, когда задающие его векторы взаимно перпендикулярны.

Лемма

Докажем сначала небольшую лемму:

Если матрица размерности положительно определённая, то

Доказательство леммы

Определитель можно представить в виде

Так как положительно определённая, то и матрица, которая является первым слагаемым в сумме, тоже положительно определённая, следовательно, квадратичная форма по переменным , каковой является второе слагаемое, не является положительно определенной. В силу этого

Отсюда, применяя индукцию, получаем требуемый результат.

Доказательство неравенства Адамара

Для доказательства неравенства Адамара нужно применить доказанную лемму к положительно определённой квадратной матрице вида .

Матрицы, определители которых достигают границы Адамара

В комбинаторикe матрицы с элементами из , для которых в неравенстве Адамара выполняется равенство, называются матрицами Адамара. Таким образом, определитель таких матриц по модулю равен . Из таких матриц получают коды Адамара.

См. также

Примечания

  1. Адамара теорема // Математическая энциклопедия / И. М. Виноградов. — 1977.

Литература

  • R. Bellman, Introduction to Matrix Analysis, SIAM, Philadelphia, PA, USA, Ch. 8, § 7, 1997.
  • F. J. MacWilliams and N. J. A. Sloane, The Theory of Error-Correcting Codes, Amsterdam, Netherlands, North-Holland, § 2.3, 1977.
  • E. F. Beckenbach and R. Bellman, Inequalities, Berlin-Göttingen-Heidelberg, Germany, Ch. 2, § 11, 1961.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.