Наибольший многоугольник единичного диаметра

Площадь произвольного четырёхугольника (n = 4) вычисляется по формуле S = pq sin(θ)/2, где p и q — диагонали четырёхугольника, а θ — угол между диагоналями. Если диаметр многоугольника не превосходит единицы, и p, и q должны не превосходить 1. Таким образом, четырёхугольник имеет максимальную площадь, когда все три множителя достигают максимального возможного значения, то есть p = q = 1 и sin(θ) = 1. Условие p = q означает, что четырёхугольник равнодиагонален, а условие sin(θ) = 1 означает, что он ортодиагонален (его диагонали перпендикулярны). Среди таких четырёхугольников находится квадрат с диагоналями единичной длины, имеющий площадь ½, однако имеется бесконечно много других четырёхугольников одновременно равнодиагональных и ортодиагональных с длинами диагоналей 1, все они имеют ту же самую площадь, что и квадрат. Таким образом, решение не единственно[1].

Для нечётных значений n Карл Райнхардт показал, что правильный многоугольник имеет наибольшую площадь среди всех многоугольников единичного диаметра[2].

Наибольший многоугольник единичного диаметра с шестью сторонами (слева). Справа правильный многоугольник с тем же диаметром, но площадь его меньше.

В случае n = 6 оптимальный многоугольник единственнен, однако он не является правильным. Решение для этого случая было опубликовано в 1975 Рональдом Грэмом в ответ на вопрос, поставленный в 1956 году Ханфридом Ленцом[3]. Решение представляет собой неправильный равнодиагональный пятиугольник с треугольником, прикреплённым к одной из его сторон, и расстояние от вершины этого треугольника до противолежащей вершины пятиугольника равно длине диагоналей пятиугольника[4]. Площадь этой фигуры равна 0.674981…[5], и это число удовлетворяет уравнению:

4096 x¹⁰ +8192x⁹ − 3008x⁸ − 30848x⁷ + 21056x⁶ + 146496x⁵ − 221360x⁴ + 1232x³ + 144464x² − 78488x + 11993 = 0.

Грэм высказал гипотезу, что в общем случае для чётных n решение строится аналогичным образом из правильных (n − 1)-угольников (с единичными диагоналями) с добавлением равнобедренного треугольника к одной из сторон, расстояние от вершины которого до противолежащей вершины (n − 1)-угольника равно единице. Для случая n = 8 это было проверено в 2002 году с помощью компьютера[6]. Доказательство Грэма оптимальности его шестиугольника и проверка на компьютере случая n = 8 использовали перебор вариантов всех возможных треклов с n вершинами и прямолинейными рёбрами.

Полное доказательство гипотезы Грэма для всех чётных значений n было дано в 2007 году[7].

• J. J. Schäffer. Nachtrag zu Ungelöste Prob. 12 // Elemente der Math.. — 1958. — Т. 13.. Как процитировано у Грэма (Graham (1975)).
• Karl Reinhardt. Extremale Polygone gegebenen Durchmessers // Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. — 1922. — Т. 31.
• H. Lenz. Ungelöste Prob. 12 // EIemente der Math.. — 1956. — Т. 11.. Как процитировано у Грэма (Graham (1975)).
• R. L. Graham. The largest small hexagon // Journal of Combinatorial Theory. — 1975. — Т. 18. — doi:10.1016/0097-3165(75)90004-7.
• Charles Audet, Pierre Hansen, Frédéric Messine, Junjie Xiong. The largest small octagon // Journal of Combinatorial Theory. — 2002. — Т. 98, вып. 1. — doi:10.1006/jcta.2001.3225.
• Jim Foster, Tamas Szabo. Diameter graphs of polygons and the proof of a conjecture of Graham // Journal of Combinatorial Theory. — 2007. — Т. 114, вып. 8. — doi:10.1016/j.jcta.2007.02.006.

• Weisstein, Eric W. Biggest Little Polygon (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Graham’s Largest Small Hexagon, from the Hall of Hexagons