Модель Васичека

Модель предложена Олдржихом Вашичеком в 1977 году. Однофакторность связана с тем, что в модели участвует лишь один источник неопределённости динамики ставки. В рамках данной модели предполагается, что процентная ставка колеблется вокруг некоторого среднего уровня.

Эта модель стала первой, учитывающей тенденцию процентных ставок к возврату к среднему (англ. mean reversion): процентные ставки не могут расти до бесконечности, так как их высокий уровень ограничит экономическую деятельность и после определённого предела сведет её на нет; с другой стороны, ставки естественным образом ограничены снизу. Таким образом, ставки должны двигаться в ограниченном диапазоне.

Недостаток модели Васичека заключается в использовании нормального распределения для коэффициента дрифта волатильности, что теоретически допускает отрицательные значения ставки.

Математически модель записывается в виде следующего стохастического дифференциального уравнения диффузионного типа (уравнение Орнштейна — Уленбека)[1]:

${\displaystyle dr_{t}=\alpha (\beta -r_{t})\Delta t+\sigma \epsilon {\sqrt {\Delta t}}}$,

где:

• ${\displaystyle \epsilon {\sqrt {\Delta t}}}$ — винеровский процесс (${\displaystyle \epsilon }$ — случайный выбор из стандартного нормального распределения в момент t: ${\displaystyle \epsilon \left(t\right)\sim \mathrm {N} \left(0,1\right)}$),
• ${\displaystyle \beta }$ — средний (долгосрочный) уровень процентной ставки,
• ${\displaystyle \alpha }$ — параметр, характеризующий скорость возврата к среднему значению (${\displaystyle 0\leq \alpha \leq 1}$),
• ${\displaystyle \sigma }$ — параметр волатильности. В модели Васичека волатильность ставки не зависит от текущего значения ставки.

В 1990 и 1991 годах были представлены модели, соответственно, Блэка — Дермана — Тоя и Блэка — Карасинского, вводящие нестационарную волатильность.

Решение уравнения Васичека имеет вид:

${\displaystyle r_{t}=r_{0}e^{-\alpha t}+\beta (1-e^{-\alpha t})+\sigma e^{-\alpha t}\int _{0}^{t}e^{\alpha s}dW_{s}}$

Математическое ожидание и волатильность ставки равны:

${\displaystyle E(r_{t})=r_{0}e^{-\alpha t}+\beta (1-e^{-\alpha t})=\beta +(r_{0}-\beta )e^{-\alpha t}~,~~V(r_{t})={\frac {\sigma ^{2}}{2\alpha }}(1-e^{-2\alpha t})}$

Следовательно при ${\displaystyle t\rightarrow \infty }$ имеем долгосрочный средний уровень ставки и волатильность ${\displaystyle E(r)=\beta ~,~~V(r)={\frac {\sigma ^{2}}{2\alpha }}}$

Уравнение кривой доходности (срочной структуры процентных ставок), соответствующее модели Васичека имеет вид:

${\displaystyle R(t)=R_{\infty }+(r_{0}-R_{\infty }){\frac {1-e^{-\alpha t}}{\alpha t}}+{\frac {\sigma ^{2}(1-e^{-\alpha t})^{2}}{4\alpha ^{3}t}}~,~~R_{\infty }=\lim _{t\rightarrow \infty }R(t)=\beta +\lambda \sigma /a-0.5\sigma ^{2}/\alpha ^{2}}$

${\displaystyle \lambda }$-рыночная цена риска, определяемая из условия отсутствия арбитража при формировании облигаций с разными сроками до погашения.

• Диффузионная модель эволюции процентных ставок