Множество Данцера

Один из путей сформулировать задачу более формально — рассматривать скорость роста множества ${\displaystyle S}$ в ${\displaystyle d}$-мерном евклидовом пространстве, определённой как функция, отображающвя вещественные числа ${\displaystyle r}$ в точки ${\displaystyle S}$, находящиеся на расстоянии ${\displaystyle r}$ от начала координат. Вопрос Данцера — возможно ли для множества Данцера иметь скорость роста ${\displaystyle O(r^{d})}$, скорость роста вполне разнесённых множеств точек, подобных целочисленной решётки (которая не является множеством Данцера)[2].

Можно построить множество Данцера со скоростью роста в пределах полилогарифмического коэффициента ${\displaystyle O(r^{d})}$. Например, при наложении прямоугольных сеток, ячейки которых имеют постоянный объём, но различные пропорции, можно достичь скорости роста ${\displaystyle O(n^{d}\log ^{d-1}n)}$[3]. Построения множеств Данцера известны с чуть меньшей скоростью ростп ${\displaystyle O(r^{d}\log r)}$, но ответ на вопрос Данцера остаётся неизвестным[4].

Другой вариант задачи, предложенный Тимоти Гауэрсом, спрашивает, существует ли множество Данцера ${\displaystyle S}$, для которого существует конечная граница ${\displaystyle C}$ на число точек пересечения ${\displaystyle S}$ и любого выпуклого тела единичного объёма[5]. Этот вариант был решён — такое множество Данцера невозможно[6].

Третим вариантом задачи, остающейся нерешённой, является задача Конвея о мёртвых мухах. Конвей, Джон Хортон вспоминал, что, будучи ребёнком, он спал в комнате с обоями, на которых цветы напоминали кучу мёртвых мух, и он пытался найти выпуклую область, не содержащую мух[7]. В формулировке Конвея вопрос состоит в том, существует ли множество Данцера, в котором точки множества (мёртвые мухи) отделены друг от друга на ограниченное расстояние. Такое множество обязательно будет иметь также верхнюю границу расстояний от каждой точки плоскости до мёртвой мухи (чтобы коснуться всех точек окружности единичной площади), так что оно должно образовать множество Делоне, множество, имеющее как ненулевую нижнюю границу, так и конечную границу расстояний между точками. Это множество обязательно будет иметь скорость роста ${\displaystyle O(r^{d})}$, так что если оно существует, то оно должно решать и оригинальную версию задачи Данцера. Конвей предложил приз в $1000 за решение задачи[8] как часть набора задач, в который входят также задача Конвея о 99-вершинном графе, анализ игры с монетами и гипотеза о трекле[8].

Можно также ограничить классы множеств точек, которые могут служить множествами Данцера другими способами. В частности, они не могут быть объединением конечного множества решёток[3], не могут быть образованными выбором точки из каждой плитки подстановки (в той же позиции для каждой плитки того же типа), и они не могут быть сгенерированы методом вырежь-и-спроецируй построения апериодичных мозаик. Поэтому вершины мозаики «Вертушка» и мозаики Пенроуза не являются множествами Данцера[4].

• Задача Хайльбронна о треугольниках на множестве точек, которые не имеют малой площади.
• Теорема Минковского, что любое замкнутое выпуклое тело единичного объёма с центом симметрии в начале координат содержит ненулевое число точек полуцелочисленной решётки.