Метрический дифференциал

Метрический дифференциал — обобщение понятия производной на (липшицевы) отображения из евклидова пространства в произвольное метрическое пространство. Впервые рассмотрен Берндом Киркхаймом[1].

Метрический дифференциал отображения $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to X$ в точке $x\in \mathbb {R} ^{n}$ является нормой на $\mathbb {R} ^{n}$ и обычно обозначается $MD_{x}f$ .

Определение

Метрический дифференциал отображения $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to X$ в точке $x\in \mathbb {R} ^{n}$ определяется как норма $MD_{x}f$ на $\mathbb {R} ^{n}$ такая, что

|f(x+v)-f(x+w))|_{X}=MD_{x}f(v-w)+o(|v|-|w|),

где $|a-b|_{X}$ обозначает расстояние между точками $a$ и $b$ по норме $X$ .

Свойства

Для метрического дифференциала выполняется аналог теоремы Радемахера — если $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to X$ $\text{[math]}$ липшицевское, то метрический дифференциал определён почти в каждой точке области определения.
- Прямое обобщение теоремы Радемахера невозможно, поскольку метрическое пространство не обладает линейной структурой, требуемой для дифференциала. Даже в случае банахова пространства $X=L^{1}([0,1])$ заключение самой теоремы неверно — например, отображение $f\colon [0,1]\to X$ , определённое как индикатор $f(x)=\chi _{[0,x]}$ , не имеет производную ни в одной точке, несмотря на то, что отображение липшицево и даже сохраняет расстояния.

Примечания

Bernd Kirchheim. Rectifiable metric spaces: local structure and regularity of the Hausdorff measure (англ.) // Proc. Am. Math. Soc. : journal. — 1994. — Vol. 121. — P. 113—124.

Ссылки

А. И. Тюленев Введение в геометрическую теорию меры Лекция 7. Метрический дифференциал. Теорема Киркхайма.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Bernd Kirchheim. Rectifiable metric spaces: local structure and regularity of the Hausdorff measure (англ.) // Proc. Am. Math. Soc. : journal. — 1994. — Vol. 121. — P. 113—124.