Локально конечная группа

Чаше всего употребляются следующие определения:

Локально конечной группой называется группа, каждая конечно порожденная подгруппа которой является конечной.

Локально конечной группой называется группа, у которой каждое конечное подмножество содержится в конечной подгруппе.

Эти определения равносильны.

Примеры:

• Конечная группа является локально конечной
• Прямая сумма конечных групп является локально конечной[1].
• Квазициклическая группа является локально конечной
• Гамильтонова группа является локально конечной
• Периодическая линейная группа является локально конечной[2]
• Разрешимая периодическая группа является локально конечной.[3]

Теорема Шмидта: класс локально конечных групп замкнут относительно взятия подгрупп, факторгрупп и расширений[4].

У всякой группы единственная максимальная локально конечная подгруппа[5].

Всякая бесконечная локально конечная группа содержит бесконечную абелеву подгруппу[6].

Если локально-конечная группа содержит конечную максимальную p-подгруппу, то все её максимальные p-подгруппы сопряжены, причём если их количество конечно, то оно сравнимо с 1 по модулю p (см. также Теоремы Силова).

Если каждая счётная подгруппа локально конечной группы содержит не более чем счётное количество максимальных p-подгрупп, то все её максимальные p-подгруппы сопряжены[4].

• Задача Бёрнсайда

• Robinson, Derek John Scott (1996), A course in the theory of groups, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94461-6