Ловер, Уильям

Будучи студентом, Ловер изучал механику сплошных сред под руководством Клиффорда Трусделла. Он узнал о теории категорий во время изучения курса функционального анализа, а именно из задачи в учебнике Джона Келли General Topology, где Келли говорит о том, что функториальный подход «может быть назван галактической теорией» (с. 246), по сравнению со старой идеей о локальных и глобальных вопросах. В 1960 году Трусделл подписал заявление Ловера о том, чтобы тот изучал чистую математику в Колумбийском университете под руководством Сэмюэля Эйленберга, основателя теории категорий.

Перед завершением своей докторской диссертации Ловер провёл год в Университете Беркли, посещая лекции Альфреда Тарского и Даны Скотта по теории моделей и теории множеств. На своей первой преподавательской должности в Рид-колледж он получил задание разработать курсы по анализу и общей алгебре, делающие упор на основания математики. Он попытался использовать аксиоматическую теорию множеств, но нашёл её неподходящей для начинающих студентов, поэтому вместо этого он придумал несколько аксиом для композиции отображений множеств. Позднее он изложил эти аксиомы в своей Elementary Theory of the Category of Sets (1964), которая стала важной составной частью элементарной теории топосов.

Ловер получил степень Ph.D. в 1963 году под руководством Эйленберга. В своей докторской диссертации он вводит понятие «Категории категорий» в качестве основы для семантики алгебраических теорий. В 1964—1967 годах он продолжает работу над «Категорией категорий» в высшей технической школе Цюриха. Особенно большое влияние на него оказали семинары Пьера Габриэля по основаниям алгебраической геометрии, предложенными Гротендиком. После этого он вместе с Маклейном преподавал в Университете Чикаго, а также в университете Нью-Йорка. Его чикагские лекции по категорной динамике стали очередным шагом по направлению к теории топосов, как и нью-йоркские лекции по категорной логике, особенно с учетом его открытия, что кванторы существования и всеобщности можно охарактеризовать при помощи сопряжённых функторов.

Вернувшись в Цюрих, он в 1968—1969 годах предложил элементарные (касающиеся логики первого порядка) аксиомы топосов, обобщив понятие топоса Гротендика и продолжил работу над упрощением и применением теории вместе с алгебраическим топологом Майлсом Тирни. Тирни смог серьезно упростить описание топологий Гротендика. Позднее Андерс Кок добился дальнейшего упрощения, так что топос мог быть описан как категория с произведениями и уравнителями, в которой могут быть представлены понятия пространства отображений и подобъекта. Ловер указал, что топология Гротендика может быть описана как эндоморфизм представителя подобъекта. Эти «Топологии» важны как в алгебраической геометрии, так и в теории моделей, поскольку они определяют подтопосы как категории пучков.

В 1972—1974 годах Ловер провел семинар в Перудже, Италия, разрабатывая различные виды обогащённых категорий. Например, метрическое пространство можно рассматривать как обогащённую категорию. С 1974 года вплоть до увольнения в 2000 он работал профессором математики в Университете Буффало. Уже более 50 лет продолжает он свои поиски строгой и гибкой математической базы для физических идей, свободной от ненужных аналитических усложнений. Сейчас он является почётным профессором математики в Буффало. В 2012 году он стал действительным членом Американского математического общества.[1]

• Интервью для Bulletin of the International Center for Mathematics of Coimbra, Portugal (Part I , Part II)
• Reprints in Theory and Applications of Categories. Включает семь основных статей Ловера.
• Homepage.