Лемма Шура

Представление группы ${\displaystyle G}$ автоморфизмами некоторого векторного пространства ${\displaystyle GL(V)}$ ${\displaystyle \sigma :G\to GL(V)}$ называется неприводимым, если не существует никакого инвариантного относительно ${\displaystyle \sigma }$ подпространства отличного от 0 и самого ${\displaystyle V}$.

Лемма Шура: Пусть ${\displaystyle f}$ — линейное отображение векторных пространств ${\displaystyle f:V_{1}\to V_{2}}$ над некоторым полем ${\displaystyle K}$ такое, что существуют два неприводимых представления ${\displaystyle \sigma :G\to GL(V_{1})}$ и ${\displaystyle \tau :G\to GL(V_{2})}$, такие, что ${\displaystyle \tau _{g}f=f\sigma _{g}}$ для всех ${\displaystyle g}$. Тогда:

1)Если ${\displaystyle f}$ не является изоморфизмом, то ${\displaystyle f}$ — нулевое отображение.

2)Если ${\displaystyle V_{1}=V_{2}}$ конечномерны над алгебраически замкнутым полем ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle \sigma =\tau }$, то ${\displaystyle f}$ является умножением на некоторый элемент поля ${\displaystyle f:x\to \lambda x}$.

Основой доказательства служит следующее общее утверждение, которое часто тоже называют «леммой Шура»:

Пусть ${\displaystyle E}$ и ${\displaystyle F}$ модули, являющиеся простыми (то есть не имеющие подмодулей, отличных от нулевого и самого себя). Тогда любой гомоморфизм ${\displaystyle f:E\rightarrow F}$ является либо нулевым, либо изоморфизмом на ${\displaystyle F}$.

В самом деле, так как ${\displaystyle \mathrm {Ker} \,f}$ и ${\displaystyle \mathrm {Im} \,f}$ являются подмодулями, то если ${\displaystyle f}$ ненулевой гомоморфизм, имеем ${\displaystyle \mathrm {Ker} \,f=0}$, а ${\displaystyle \mathrm {Im} \,f=F}$, то есть ${\displaystyle f}$ — изоморфизм на весь модуль ${\displaystyle F}$.

Теперь определим групповое кольцо ${\displaystyle K[G]}$. Элементами этого кольца будут линейные комбинации ${\displaystyle k_{1}g_{1}+k_{2}g_{2}+...+k_{n}g_{n}}$. Умножение определяется ${\displaystyle (k_{1}g_{1})(k_{2}g_{2})=(k_{1}k_{2})(g_{1}g_{2})}$ и далее по линейности. Ясно, что ${\displaystyle K[G]}$ кольцо. На пространстве ${\displaystyle V_{1}}$ определим умножение элемента из ${\displaystyle K[G]}$ на элемент ${\displaystyle x\in V_{1}}$: ${\displaystyle (k_{1}g_{1}+k_{2}g_{2}+...+k_{n}g_{n})x=k_{1}\sigma _{g_{1}}x+k_{2}\sigma _{g_{2}}x+...+k_{n}\sigma _{g_{n}}x}$. Тем самым мы превращаем ${\displaystyle V_{1}}$ в модуль над кольцом ${\displaystyle K[G]}$. Проверка аксиом модуля тривиальна, т.к. ${\displaystyle \sigma }$ является представлением. ${\displaystyle V_{2}}$ аналогично, заменяя ${\displaystyle \sigma }$ на ${\displaystyle \tau }$, будет модулем над ${\displaystyle K[G]}$, а равенство ${\displaystyle \tau _{g}f=f\sigma _{g}}$ то, что отображение ${\displaystyle f}$ является гомоморфизмом модулей. Так как ${\displaystyle \sigma }$ и ${\displaystyle \tau }$ неприводимы, а это означает простоту ${\displaystyle V_{1}}$ и ${\displaystyle V_{2}}$ как модулей над ${\displaystyle K[G]}$, то первая часть леммы доказана.

Для доказательства второй части используем известное утверждение линейной алгебры о существовании собственного вектора ${\displaystyle x\neq 0}$ для конечномерного пространства над алгебраически замкнутым полем, соответствующего собственному значению ${\displaystyle \lambda }$, ${\displaystyle f(x)=\lambda x}$. Для любого элемента ${\displaystyle g\in G}$ имеем ${\displaystyle \sigma _{g}(f-\lambda \operatorname {id} )=(f-\lambda \operatorname {id} )\sigma _{g}}$, причём для собственного вектора ${\displaystyle (f-\lambda \operatorname {id} )(x)=0,}$ следовательно ${\displaystyle f-\lambda \operatorname {id} }$ по первой части леммы является нулевым гомоморфизмом, а значит, ${\displaystyle f}$ является умножением на некоторое ${\displaystyle \lambda }$.

• Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры. — 3-е изд.. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.
• Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1967.
• Серр Ж.-П. Линейные представления конечных групп. — М.: Мир, 1969.