Лемма Нётер о нормализации

Лемма Нётер о нормализации — результат коммутативной алгебры играющий важную роль в основаниях алгебраической геометрии. Доказанa Эмми Нётер в 1926 году.

Эта лемма используется в доказательстве теоремы Гильберта о нулях. Также она является важным инструментом изучения размерности Крулля.

Формулировка

Для любого поля k и любой конечно порожденной коммутативной k -алгебры A существует неотрицательное целое число d и алгебраически независимые элементы y ₁, y ₂, ..., y _d в A такие, что A конечно порожденный модуль над кольцом многочленов S = k[ y ₁, y ₂, ..., y _d ].

Замечания

Целое число d определяется однозначно; это размерность Крулля кольца A.
- В случае если A является областью целостности, то d также является степенью трансцендентности поля частных A над k.

Геометрическая интерпретация

За S можно взять координатное кольцо d-мерного аффинного пространства $\mathbb {A} _{k}^{d}$ , а за A — координатное кольцо некоторого другого d -мерного аффинного многообразия X. Тогда отображение включения $S\to A$ индуцирует сюръективный конечный морфизм аффинных многообразий $X\to \mathbb {A} _{k}^{d}$ . Вывод состоит в том, что любое аффинное многообразие является разветвленным накрытием аффинного пространства.

Если поле k бесконечно, то такое разветвленное накрытие можно построить, взяв проекцию общего положения из аффинного пространства, содержащего X, на d-мерное подпространство.

Литература

Noether, Emmy (1926), Der Endlichkeitsatz der Invarianten endlicher linearer Gruppen der Charakteristik p, Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen: 28–35, <http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/dms/load/img/?IDDOC=63971> Архивная копия от 8 марта 2013 на Wayback Machine
Мамфорд Д. Красная книга о многообразиях и схемах. — М.: МЦНМО, 2007.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.