Критерий Дюлака

Критерий Дюлака — критерий, на основании которого можно судить об отсутствии замкнутых траекторий и замкнутых контуров, состоящих из траекторий обыкновенных дифференциальных уравнений на плоскости. Этот критерий был сформулирован французским математиком Анри Дюлаком.

Формулировка

Пусть дана система нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений на плоскости:

{\dot {x}}=f(x,y),\,\,\,\,{\dot {y}}=g(x,y)

.

Если в односвязной области $D\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ существует гладкая функция $B(x,y)$ , такая, что выражение

{\frac {\partial \left(B(x,y)\cdot f(x,y)\right)}{\partial x}}+{\frac {\partial \left(B(x,y)\cdot g(x,y)\right)}{\partial y}}

знакопостоянно и не обращается в ноль на $D$ , то в этой области не существует простых замкнутых кривых, состоящих из траекторий системы. Функцию $B(x,y)$ называют функцией Дюлака.

Частным случаем критерия Дюлака с $B(x,y)=1$ является теорема Бендиксона об отсутствии замкнутых траекторий.

Доказательство

Без потери общности можно предположить, что в односвязной области $D$ существует функция $B(x,y)$ такая, что:

{\frac {\partial \left(B(x,y)\cdot f(x,y)\right)}{\partial x}}+{\frac {\partial \left(B(x,y)\cdot g(x,y)\right)}{\partial y}}>0

Пусть $C$ — замкнутая траектория системы уравнений, которая ограничивает некоторую область $S\subset D$ . Тогда, по теореме Грина:

\iint _{S}{\left({\frac {\partial \left(B(x,y)\cdot f(x,y)\right)}{\partial x}}+{\frac {\partial \left(B(x,y)\cdot g(x,y)\right)}{\partial y}}\right)dxdy}=\oint _{C}{\left(B(x,y)\cdot f(x,y)\,dy-B(x,y)\cdot g(x,y)\,dx\right)}=\oint _{C}{B(x,y)\left({\dot {x}}\,dy-{\dot {y}}\,dx\right)}.

Но, так как вдоль $C$ : $dx={\dot {x}}\,dt$ и $dy={\dot {y}}\,dt$ , то:

\oint _{C}{B(x,y)\left({\dot {x}}\,dy-{\dot {y}}\,dx\right)}=\oint _{C}{B(x,y)\left({\dot {x}}{\dot {y}}\,dt-{\dot {y}}{\dot {x}}\,dt\right)}=0

Это означает, что траектория $C$ не может быть замкнутой. ■

Литература

Carmen Charles Chicone. Ordinary differential equations with applications
N. F. Britton. Essential mathematical biology
Henryk Zoladek. The monodromy group

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.