Критерий Дарбина — Уотсона

Критерий назван в честь Джеймса Дарбина и Джеффри Уотсона. Критерий Дарбина—Уотсона рассчитывается по следующей формуле[1][2]:

${\displaystyle {\begin{aligned}&DW={\frac {\sum \limits _{t=2}^{T}(e_{t}-e_{t-1})^{2}}{\sum \limits _{t=1}^{T}e_{t}^{2}}}={\frac {\sum \limits _{t=2}^{T}e_{t}^{2}+\sum \limits _{t=2}^{T}e_{t-1}^{2}-2\sum \limits _{t=2}^{T}e_{t}e_{t-1}}{\sum \limits _{t=1}^{T}e_{t}^{2}}}=\\&={\frac {\sum \limits _{t=2}^{T}e_{t}^{2}+\sum \limits _{t=1}^{T-1}e_{t}^{2}-2\sum \limits _{t=2}^{T}e_{t}e_{t-1}}{\sum \limits _{t=1}^{T}e_{t}^{2}}}={\frac {e_{1}^{2}+e_{T}^{2}+2\sum \limits _{t=2}^{T-1}e_{t}^{2}-2\sum \limits _{t=2}^{T}e_{t}e_{t-1}}{\sum \limits _{t=1}^{T}e_{t}^{2}}}\approx \\&\approx 2-2{\frac {\sum \limits _{t=2}^{T}e_{t}e_{t-1}}{\sum \limits _{t=1}^{T}e_{t}^{2}}}=2(1-\rho _{1}),\end{aligned}}}$

где ${\displaystyle \rho _{1}}$ — коэффициент автокорреляции первого порядка.

Подразумевается, что в модели регрессии ${\displaystyle {\vec {Y}}={\boldsymbol {X}}{\vec {\beta }}+{\vec {\varepsilon }}}$ ошибки специфицированы как ${\displaystyle \varepsilon _{t}=\rho \varepsilon _{t-1}+v_{t}}$, где ${\displaystyle v_{t}}$ распределено, как белый шум. ${\displaystyle \mathbb {E} (\varepsilon _{t})=0}$, ${\displaystyle \mathop {\mathrm {Var} } (\varepsilon _{t})={\frac {\sigma _{v}^{2}}{1-\rho ^{2}}}}$, а ${\displaystyle \mathop {\mathrm {Corr} } (\varepsilon _{t},\varepsilon _{t-1})=\rho }$, где ${\displaystyle |\rho |<1}$.

В случае отсутствия автокорреляции ${\displaystyle DW=2}$; при положительной автокорреляции ${\displaystyle DW}$ стремится к нулю, а при отрицательной — к 4:

${\displaystyle {\begin{cases}\rho _{1}=0\Rightarrow DW=2;\\\rho _{1}=1\Rightarrow DW=0;\\\rho _{1}=-1\Rightarrow DW=4.\end{cases}}}$

На практике применение критерия Дарбина—Уотсона основано на сравнении величины ${\displaystyle DW}$ с теоретическими значениями ${\displaystyle d_{L}}$ и ${\displaystyle d_{U}}$ для заданного числа наблюдений ${\displaystyle n}$, числа независимых переменных модели ${\displaystyle k}$ и уровня значимости ${\displaystyle \alpha }$.

1. Если ${\displaystyle DW<d_{L}}$, то гипотеза о независимости случайных отклонений отвергается (следовательно, присутствует положительная автокорреляция);
2. Если ${\displaystyle DW>d_{U}}$, то гипотеза не отвергается;
3. Если ${\displaystyle d_{L}<DW<d_{U}}$, то нет достаточных оснований для принятия решений.

Когда расчётное значение ${\displaystyle DW}$ превышает 2, то с ${\displaystyle d_{L}}$ и ${\displaystyle d_{U}}$ сравнивается не сам коэффициент ${\displaystyle DW}$, а выражение ${\displaystyle (4-DW)}$[2].

Также с помощью данного критерия выявляют наличие коинтеграции между двумя временными рядами. В этом случае проверяют гипотезу о том, что фактическое значение критерия равно нулю. С помощью метода Монте-Карло были получены критические значения для заданных уровней значимости. В случае, если фактическое значение критерия Дарбина—Уотсона превышает критическое, то нулевую гипотезу об отсутствии коинтеграции отвергают[2].

1. Неприменим к моделям авторегрессии, а также к моделям с гетероскедастичностью условной дисперсии и GARCH-моделям.
2. Не способен выявлять автокорреляцию второго и более высоких порядков.
3. Даёт достоверные результаты только для больших выборок[2].
4. Не подходит для моделей без свободного члена (для них статистика, аналогичная ${\displaystyle DW}$, была рассчитана Farebrother).
5. Дисперсия коэффициентов будет расти, если ${\displaystyle v}$ имеет распределение, отличающееся от нормального.

Критерий Дарбина—Уотсона неприменим для моделей авторегрессии, так как он для подобного рода моделей может принимать значение, близкое к двум, даже при наличии автокорелляции в остатках. Для этих целей используется ${\displaystyle h}$-критерий Дарбина.

${\displaystyle h}$-статистика Дарбина применима тогда, когда среди объясняющих регрессоров есть ${\displaystyle Y_{t-1}}$. На первом шаге методом МНК строится регрессия. Затем критерий ${\displaystyle h}$ Дарбина применяется для выявления автокорреляции остатков в модели с распределёнными лагами[2]:

${\displaystyle h=\left(1-{\frac {1}{2}}DW\right){\sqrt {\frac {n}{1-n\cdot \mathop {\mathrm {Var} } ({\hat {\gamma }})}}},}$

где

• ${\displaystyle n}$ — число наблюдений в модели;
• ${\displaystyle \mathop {\mathrm {Var} } ({\hat {\gamma }})}$ — оценка дисперсии коэффициента при лаговой результативной переменной ${\displaystyle Y_{t-1}}$.

При увеличении объёма выборки распределение ${\displaystyle h}$-статистики стремится к нормальному с нулевым математическим ожиданием и дисперсией, равной 1. Поэтому гипотеза об отсутствии автокорреляции остатков отвергается, если фактическое значение ${\displaystyle h}$-статистики оказывается больше, чем критическое значение нормального распределения[3].

Ограничение данной статистики следует из её формулировки: в формуле присутствует квадратный корень, следовательно, если дисперсия коэффициента при ${\displaystyle Y_{t-1}}$ велика, то процедура невыполнима.

Для панельных данных используется немного видоизменённый критерий Дарбина—Уотсона:

${\displaystyle dw_{p}={\dfrac {\sum \limits _{i=1}^{N}\sum \limits _{t=2}^{T}(e_{i,\;t}-e_{i,\;t-1})^{2}}{\sum \limits _{i=1}^{N}\sum \limits _{t=1}^{T}e_{i,\;t}^{2}}}.}$

В отличие от критерия Дарбина—Уотсона для временных рядов, в этом случае область неопределенности является очень узкой, в особенности для панелей с большим количеством индивидуумов[4].

• Тест Бройша—Годфри
• Q-тест Льюнга — Бокса
• Метод Кохрейна — Оркатта
• Метод рядов

• Anatolyev S. Durbin–Watson statistic and random individual effects // Econometric Theory (Problems and Solutions). — 2002-2003.

Значения критерия Дарбина — Уотсона