Авторегрессионная условная гетероскедастичность

Пусть временной ряд ${\displaystyle u_{t}}$ представляет собой следующий процесс

${\displaystyle u_{t}=\varepsilon _{t}{\sqrt {\alpha _{0}+\sum _{i=1}^{q}\alpha _{i}u_{t-i}^{2}}}}$

где ${\displaystyle \varepsilon _{t}}$ — белый шум.

Тогда как условное, так и безусловное математическое ожидание этого процесса будет равно нулю. Условная дисперсия данного процесса будет равна

${\displaystyle \sigma _{t}^{2}=V(u_{t}|u_{t-1},...,u_{t-q})=\alpha _{0}+\sum _{i=1}^{q}\alpha _{i}u_{t-i}^{2}}$

Такая модель условной дисперсии называется ARCH(q)-моделью. Для недопущения отрицательных значений дисперсии предполагается, что все коэффициенты модели неотрицательны, причём константа строго положительна. Если данный процесс стационарный, то безусловная дисперсия постоянна и равна, очевидно,

${\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {\sigma _{\varepsilon }^{2}}{1-\sum _{i=1}^{q}\alpha _{i}}}}$

Необходимое условие стационарности — сумма коэффициентов модели (без константы) строго меньше единицы. Если сумма коэффициентов равна единице, имеем интегрированный ARCH (нестационарный).

ARCH-процессы характеризуются положительным эксцессом («толстые хвосты»). Например, для ARCH(1)-процесса сдвиг от эксцесса нормального распределения равен ${\displaystyle 6\alpha _{1}^{2}/(1-3\alpha _{1}^{2})}$, если ${\displaystyle \alpha _{1}<1/{\sqrt {3}}}$

Оценка параметров ARCH(q)-модели может быть произведена при помощи обычного МНК.

ARCH-модель предполагает зависимость условной дисперсии только от квадратов прошлых значений временного ряда. Обобщить данную модель можно предположив, что условная дисперсия зависит также от прошлых значений самой условной дисперсии. Это так называемый обобщённый ARCH (Generalized ARCH — GARCH). В этом случае GARCH(p, q) модель (где p — порядок GARCH-членов ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ и q — порядок ARCH-членов ${\displaystyle u^{2}}$) описывается следующим образом:

${\displaystyle \sigma _{t}^{2}=\alpha _{0}+\sum _{i=1}^{q}\alpha _{i}u_{t-i}^{2}+\sum _{j=1}^{p}\beta _{j}\sigma _{t-j}^{2}}$

Необходимое условие стационарности ${\displaystyle \sum _{i=1}^{p}~\beta _{i}+\sum _{i=1}^{q}~\alpha _{i}<1}$. Безусловная дисперсия стационарного GARCH(p, q)-процесса будет постоянна и равна

${\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {\sigma _{\varepsilon }^{2}}{1-\sum _{i=1}^{p}~\beta _{i}-\sum _{i=1}^{q}~\alpha _{i}}}}$

Если сумма коэффициентов равна единице, то имеем интегрированный GARCH — IGARCH, безусловная дисперсия которого бесконечна.

GARCH-в-среднем (GARCH-in-Mean, GARCH-M) предложена Энглом и др. в 1987 году. В данном случае речь не идет о специальной модели для условной дисперсии. Речь идет об использовании условной дисперсии в качестве одного из факторов регрессионной модели для премии за риск. Если обозначить избыточную доходность ${\displaystyle y_{t}}$, то модель GARCH-M означает, что[1]

${\displaystyle y_{t}=a+f(\sigma _{t}^{2})-E[f(\sigma _{t+1}^{2})]+u_{t}}$

где случайная ошибка модели является GARCH-процессом с условной дисперсией ${\displaystyle \sigma _{t}^{2}}$, а f-некоторая функция.

Энгл использовал функцию ${\displaystyle f(\sigma _{t}^{2})=b{\sqrt {\sigma _{t}^{2}}}=b\sigma _{t}}$, однако, теоретически возможны любые варианты, в частности просто ${\displaystyle f(\sigma _{t}^{2})=b\sigma _{t}^{2}}$ или ${\displaystyle f(\sigma _{t}^{2})=b\ln {\sigma _{t}^{2}}}$. Все три варианта (дисперсия, ско и логарифм дисперсии) предусмотрены в эконометрической программе Eviews (например, в версии 10).

Модель EGARCH предложена Нельсоном в 1991 году. В данной модели кроме учёта асимметрии также решается проблема положительной определенности модели, так как вместо условных дисперсий в модели участвуют их логарифмы:

${\displaystyle \ln \sigma _{t}^{2}=\alpha _{0}+\sum _{i=1}^{q}\alpha _{i}g(z_{t-i})+\sum _{j=1}^{p}\beta _{j}\ln \sigma _{t-j}^{2}~,~~~g(z_{t})=\delta _{1}z_{t}+\delta _{2}(|z_{t}|-{\sqrt {2/\pi }})~,~~~z_{t}\sim iid(0,1)}$

Асимметричная GARCH (AGARCH) модель предложена Энглом в 1990 г.

${\displaystyle \sigma _{t}^{2}=\alpha _{0}+\sum _{i=1}^{q}\alpha _{i}(u_{t-i}-\gamma )^{2}+\sum _{j=1}^{p}\beta _{j}\sigma _{t-j}^{2}}$

Нелинейная AGARCH(1,1)-модель (NAGARCH) предложена Энглом и Ыном в 1993 г.

${\displaystyle \sigma _{t}^{2}=\alpha _{0}+\alpha _{1}(u_{t-1}/\sigma _{t-1}-\gamma )^{2}+\beta \sigma _{t-1}^{2}}$

Пороговые модели GARCH (Threshold GARCH, TGARCH) предложена Закояном в 1991 году и независимо от него Глостеном, Джаганнатаном и Ранклом в 1993 году (последнюю модель обозначают по именам авторов GJR-GARCH). Отличие этих двух моделей заключается лишь в том, что модель Закояна использует условные стандартные отклонения, а модель GJR — условную дисперсию. Эти модели можно представить следующим образом:

${\displaystyle \sigma _{t}^{\delta }=\alpha _{0}+\sum _{i=1}^{q}(\alpha _{i}u_{t-i}^{\delta }+\gamma _{i}I_{t-i}^{-}u_{t-i}^{\delta })+\sum _{j=1}^{p}\beta _{j}\sigma _{t-j}^{\delta }~,~~I_{t}^{-}={\begin{cases}1,~u_{t}<0\\0,~u_{t}\geqslant 0\end{cases}}}$

где для модели Закояна ${\displaystyle \delta =1}$, а для модели GJR — ${\displaystyle \delta =2}$. Фактически в моделях вводятся предполагаются разные коэффициенты для отрицательных и положительных прошлых значений ряда, поэтому иногда TGARCH-модель представляют также в следующем виде:

${\displaystyle \sigma _{t}=\alpha _{0}+\sum _{i=1}^{q}(\alpha _{i}^{+}u_{t-i}^{+}+\alpha _{i}^{-}u_{t-i}^{-})+\sum _{j=1}^{p}\beta _{j}\sigma _{t-j}}$

где ${\displaystyle u^{+}=\max(0,u)~,~u^{-}=\max(0,-u)}$.

Квадратическая GARCH (QGARCH) предложена Сентана в 1995 году

${\displaystyle \sigma _{t}^{2}=\sigma ^{2}+a^{T}x_{t-q}+x_{t-q}^{T}Ax_{t-q}+\sum _{j=1}^{p}\beta _{j}\sigma _{t-j}^{2}~,~~x_{t-q}=(u_{t-1}...,u_{t-q})^{T}}$

где A-симметрическая положительно определенная матрица, a-положительный вектор.

Данная модель учитывает кроме эффекта левериджа также и возможное взаимодействие влияния лагов благодаря внедиагональным элементам матрицы A. В случае, если матрица А диагональна, а вектор а равен нулю, то получаем стандартные модели GARCH. Если при диагональной матрице А вектор а-ненулевой, то имеем асимметричные GARCH. Если ${\displaystyle A=cc^{T},~a=2\sigma c}$, где c-некоторый вектор, а коэффициенты ${\displaystyle \beta _{j}=0}$, то получаем линейную модель стандартного отклонения ${\displaystyle \sigma _{t}=|\sigma +c^{T}x_{t-q}|}$

Асимметричная степенная модель GARCH (APGARCH) предложена Дингом и другими авторами в 1993 году и является обобщением многих других моделей:

${\displaystyle \sigma _{t}^{\delta }=\alpha _{0}+\sum _{i=1}^{q}\alpha _{i}(|u_{t-i}|-\gamma _{i}u_{t-i})^{\delta }+\sum _{j=1}^{p}\beta _{j}\sigma _{j}^{\delta }~,~\delta >0,~-1<\gamma _{i}<1}$

Если степенной параметр ${\displaystyle \delta =2}$, а показатель учёта асимметрии ${\displaystyle \gamma _{i}=0}$, то получаем обычные GARCH-модели. Если ${\displaystyle \delta =1}$ (показатель учёта асимметрии также равен нулю), то получаем GARCH-модель для условного стандартного отклонения Тейлора (1986) и Шверта(1989):

${\displaystyle \sigma _{t}=\alpha _{0}+\sum _{i=1}^{q}\alpha _{i}|u_{t-i}|+\sum _{j=1}^{p}\beta _{j}\sigma _{j}}$

Если же показатель учёта асимметрии не равен нулю, то получаем TGARCH-модель. Если ${\displaystyle \delta =2}$ и показатель учёта асимметрии принимает неотрицательные значения, то получаем GJR-GARCH.

В общем случае, если ${\displaystyle \gamma _{i}=0}$, то получаем нелинейный GARCH (NGARCH) Хиггинса и Бера, предложенную в 1992 году

${\displaystyle \sigma _{t}^{\delta }=\alpha _{0}+\sum _{i=1}^{q}\alpha _{i}|u_{t-i}|^{\delta }+\sum _{j=1}^{p}\beta _{j}\sigma _{j}^{\delta }~,~~,\delta >0}$

Данная модель была предложена Хентшелем в 1995 году. Она использует известное преобразование Бокса-Кокса, что позволяет учесть большое множество моделей. Модель с одним лагом имеет вид:

${\displaystyle {\frac {\sigma ^{\lambda }-1}{\lambda }}=\alpha _{0}+\alpha \sigma _{t-1}^{\lambda }f^{\nu }(z_{t-1})+\beta {\frac {\sigma ^{\lambda }-1}{\lambda }}~,~~f(z_{t-1})=|z_{t}-b|-c(z_{t}-b)}$

Если ${\displaystyle \lambda =\nu }$ и b=0, то получаем APGARCH(1,1), а значит и все частные модели учитываемые последней моделью. Данная модель, в отличие от APGARCH, также позволяет получить EGARCH — в пределе при ${\displaystyle \lambda \rightarrow 0}$ преобразование Бокса-Кокса равно логарифмической функции и если ${\displaystyle \nu =1}$, то получаем EGARCH(1,1).

Тест использует МНК-остатки регрессии. Для этого строится вспомогательная регрессия квадратов остатков на квадраты прошлых остатков. Далее с помощью F-теста или LM-теста проверяется значимость этой вспомогательной регрессии. Если она признается значимой, то значимым является ARCH-эффект. В противном случае его можно считать незначимым.