Критерий Андерсона — Дарлинга

Классический непараметрический критерий согласия Андерсона — Дарлинга [1, 2] предназначен для проверки простых гипотез о принадлежности анализируемой выборки полностью известному закону (о согласии эмпирического распределения ${\displaystyle F_{n}(x)}$ и теоретического закона ${\displaystyle F(x,\theta )}$) , то есть для проверки гипотез вида ${\displaystyle H_{0}:F_{n}(x)=F(x,\theta )}$ с известным вектором параметров теоретического закона.

В критерии ${\displaystyle \Omega ^{2}}$ Андерсона — Дарлинга [1, 2] используется статистика вида:

${\displaystyle S_{\Omega }=-n-2\sum _{i=1}^{n}\left\{{\frac {2i-1}{2n}}\ln(F(x_{i},\theta ))+\left(1-{\frac {2i-1}{2n}}\right)\ln(1-F(x_{i},\theta ))\right\}}$,

где ${\displaystyle n}$ — объём выборки, ${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}}$ — упорядоченные по возрастанию элементы выборки.

При справедливости простой проверяемой гипотезы статистика критерия подчиняется распределению вида ${\displaystyle a2(S)}$ [2, 3, 4].

При проверке простых гипотез критерий является свободным от распределения, то есть не зависит от вида закона, с которым проверяется согласие.

Проверяемая гипотеза отклоняется при больших значениях статистики. Процентные точки распределения ${\displaystyle a2(S)}$ приведены в [3, 4].