Инфракрасная расходимость

Сечение процесса ${\displaystyle d\sigma }$ рассеяния заряженных частиц с испусканием одного дополнительного фотона выражается формулой: ${\displaystyle d\sigma =d\sigma _{0}{\frac {dI}{\omega }}}$. Здесь ${\displaystyle d\sigma _{0}}$ — сечение процесса рассеяния заряженных частиц с испусканием определённого числа фотонов, ${\displaystyle dI}$ — полная энергия излучения, ${\displaystyle \omega }$ — частота излучения. При интегрировании этой формулы по частотам в некотором конечном интервале от ${\displaystyle \omega _{1}}$ до ${\displaystyle \omega _{2}}$ получается ${\displaystyle d\sigma \sim \alpha \ln {\frac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}d\sigma _{u}}$, где ${\displaystyle d\sigma _{u}}$ — сечение рассеяния упругого процесса. Можно приближенно считать, что ${\displaystyle \omega _{2}}$ приближенно равна начальной энергии излучающей частицы. Но величина ${\displaystyle \omega _{1}}$ может быть сделана сколь угодно близкой к нулю. В результате сечение излучения всех возможных мягких фотонов стремится к бесконечности[1].

При другом способе вычислений среднего числа фотонов при резком изменении скорости заряженной частицы: ${\displaystyle {\bar {n}}\sim \ln {\frac {L}{\lambda }}}$, где ${\displaystyle L,\lambda }$ — максимальная и минимальная частоты интегрирования. При ${\displaystyle \lambda \rightarrow 0}$ получаем, что ${\displaystyle {\bar {n}}\rightarrow \infty }$, так что всегда излучается бесконечно много фотонов нулевой частоты[2].

Среднее число излученных фотонов ${\displaystyle d{\bar {n}}={\frac {dI}{\omega }}}$, где ${\displaystyle dI}$ — классическая интенсивность излучения, ${\displaystyle \omega }$ — частота излучения. Интегрируя эту формулу получаем: ${\displaystyle {\bar {n}}=\int _{\omega _{1}}^{\omega _{2}}{\frac {dI}{\omega }}}$. Поскольку мягкие фотоны излучаются статистически независимо, вероятность ${\displaystyle \omega (n)}$ излучения ${\displaystyle {\bar {n}}}$ фотонов выражается через их среднее число формулой Пуассона ${\displaystyle \omega (n)={\frac {{\bar {n}}^{n}}{n!}}\exp(-{\bar {n}})}$. Сечение процесса рассеяния с излучением фотонов может быть представлено в виде: ${\displaystyle d\sigma =d\sigma _{u}\omega (n)}$. Поскольку ${\displaystyle \sum \omega (n)=1}$, то ${\displaystyle d\sigma _{u}}$ представляет собой полное сечение рассеяния, сопровождаемого любым мягким излучением. Сечение чисто упругого рассеяния в действительности равно нулю. При ${\displaystyle \omega _{1}\to 0}$ среднее число ${\displaystyle {\bar {n}}\to \infty }$ и согласно формуле Пуассона обращается в нуль вероятность излучения любого конечного числа фотонов[1].

Физической причиной парадокса является предположение о бесконечном радиусе действия кулоновского поля, которое приводит к неадекватности фотонной картины для очень больших длин волн. Для выполнения условия ${\displaystyle {\bar {n}}>1}$ длины волн должны иметь длину больше ${\displaystyle e^{\frac {1}{\alpha }}{\frac {\hbar }{mc}}}$, что значительно больше радиуса наблюдаемой части Вселенной. Таким образом данный парадокс имеет чисто теоретическое значение[2]

• Перенормировка
• Ренормализационная группа
• Ультрафиолетовая расходимость

• Kaku, Michio. Quantum Field Theory: A Modern Introduction (англ.). — New York: Oxford University Press, 1993. — ISBN 0-19-507652-4.
• Claude Itzykson, Jean-Bernard Zuber. Quantum Field Theory (неопр.). — McGraw-Hill Education, 1980. — С. 172/3. — ISBN 0-07-032071-3.