Закон степени трёх вторых

Классическое решение Чайлда рассматривает идеальный плоскопараллельный диод с электродами бесконечной протяжённости, разделёнными зазором с шириной d. Координатная ось x, относительно которой решаются дифференциальные уравнения, проводится по нормали к поверхности катода, а начальная точка (x=0) устанавливается на границе катод-вакуум. Предполагается, что:

• поверхности катода и анода эквипотенциальны;
• температура катода достаточно высока для того, чтобы ток анода был ограничен пространственным зарядом, а не уровнем эмиссии катода;
• остаточное давление газа в межэлектродном пространстве достаточно низко, поэтому взаимодействием электронов с молекулами газа можно пренебречь;
• напряжённость электрического поля E(0) на границе катод-вакуум равна нулю;
• скорость электронов при пересечении границы катод-вакуум v(0) равна нулю[12][13].

Последнее допущение — отказ от рассмотрения тепловой диффузии электронов в вакууме — наиболее важно. Именно оно позволяет заменить громоздкий, трудоёмкий расчёт простым аналитическим решением, но оно же делает это решение неприменимым в области малых положительных и отрицательных анодных напряжений, так, при нулевом напряжении на диоде в реальных приборах, ток анода не обращается в 0[13].

В соответствии с теоремой Гаусса, пространственный заряд, заключённый в произвольно выбранном объёме межэлектродного пространства, пропорционален потоку вектора напряжённости электрического поля через замкнутую поверхность Z, ограничивающую этот объём. В объёме, ограниченном примыкающей к катоду призмой высотой x и площадью основания s, поток напряжённости через боковые поверхности равен нулю. Поток напряжённости через основание, примыкающее к катоду, также равен нулю в силу первого граничного условия. Поэтому поток вектора через поверхность призмы равен произведению напряжённости поля в точке x на площадь основания призмы:

${\displaystyle Q(x)=\varepsilon _{0}{\int \limits _{Z}E\ dZ}=\varepsilon _{0}E(x)\ s}$ [14]

Одновременно, пространственный заряд в объёме призмы равен произведению тока анода I_a на время пролёта электрона от катода до плоскости, удалённой от катода на x:

${\displaystyle Q(x)=I_{a}\ {t(x)}}$[14]

поэтому напряжённость поля и ускорение электронов в любой точке x можно выразить через ток анода и время пролёта от катода до x:

${\displaystyle E(x)={{I_{a}\ t(x)} \over {\varepsilon _{0}\ s}}}$

${\displaystyle {d^{2}\ x \over dt^{2}}={{eI_{a}\ t(x)} \over {m\ \varepsilon _{0}\ s}}}$,

где e и m — заряд и масса электрона,

ε₀ — диэлектрическая постоянная[14].

Интегрирование последнего соотношения даёт зависимости координаты и скорости электрона от времени пролёта:

${\displaystyle x(t)={1 \over 6}\ {{e\ I_{a}} \over {m\ \varepsilon _{0}\ s}}\ t^{3}}$

${\displaystyle {dx \over dt}={1 \over 2}\ {{e\ I_{a}} \over {m\ \varepsilon _{0}\ s}}\ t^{2}}$[15]

Сопоставив последнее уравнение с уравнением, связывающим кинетическую и потенциальную энергию

${\displaystyle {dx \over dt}={\sqrt {2{e \over m}U}},}$[15]

можно вывести выражение для тока анода (формулу Чайлда)[16].:

${\displaystyle I_{a}={4 \over 9}\ \varepsilon _{0}\ {\sqrt {2{e \over m}}}\ {s \over d^{2}}\ U_{a}^{3 \over 2}}$

${\displaystyle I_{a}=2,33~{\cdot }~10^{-6}\ {s \over d^{2}}\ U_{a}^{3 \over 2}}$[14]

Последнее уравнение выполняется и для цилиндрического диода (с катодом внутри и анодом снаружи) с тонким катодом (внутренний радиус анода r_a в десять и более раз превосходит внешний радиус катода r_к). В этом случае вместо межэлектродного расстояния d следует подставлять внутренний радиус анода r_a[17].

Если внешний радиус катода не столь мал, то пренебрегать им уже нельзя. Для диодов с толстым катодом расчётная формула по Ленгмюру и Богуславскому принимает вид:

${\displaystyle I_{a}=2,33~{\cdot }~10^{-6}\ {s_{a} \over {r_{a}^{2}\ \beta ^{2}}}\ U_{a}^{3 \over 2},}$

где поправочный коэффициент ${\displaystyle \beta ^{2}=\left(1-{r_{k} \over r_{a}}\right)^{2}}$[18]

Закон справедлив для диодов с любой конфигурацией катода и анода и для любых температур катода, при которых возможна термоэлектронная эмиссия. В общем случае,

${\displaystyle I_{a}=g\ U_{a}^{3 \over 2},}$[19]

где g — постоянная (так называемый первеанс) данного диода, зависящая от конфигурации и геометрических размеров его электродов.

В простейшем анализе первеанс не зависит от тока накала и температуры катода, в реальных лампах он растёт с ростом температуры катода[20].

Крутизна S вольт-амперной характеристики диода в произвольно выбранной рабочей точке пропорциональна квадратному корню анодного напряжения:

${\displaystyle S={dI_{a} \over dU_{a}}={3 \over 2}\ g\ {\sqrt {U_{a}}}}$

а внутреннее сопротивление r_i обратно пропорционально ему:

${\displaystyle r_{i}=1/S={2 \over 3}{1 \over {g\ {\sqrt {U_{a}}}}}}$[21]

Время пролёта электронов от катода до анода определяется соотношением

${\displaystyle \tau ={3d \over V_{max}},}$ где конечная скорость электронов ${\displaystyle V_{max}={\sqrt {2{e \over m}U_{a}}}}$.

В реальных диодах время пролёта измеряется единицами наносекунд[22].

При подаче на анод переменного напряжения высокой частоты, период которого сопоставим с временем пролёта, фаза и величина анодного тока существенно меняются. Сдвиг фазы тока, или угол пролёта, составляет ${\displaystyle \Theta =\omega \ \tau }$, где ${\displaystyle \omega }$ — угловая частота анодного напряжения. При угле пролёта ${\displaystyle \Theta =\pi }$ крутизна динамической ВАХ диода падает на 25 % от квазистатической крутизны, при ${\displaystyle \Theta =2\pi }$ переменный ток прерывается. На практике предельный угол пролёта, выше которого использование диода нецелесообразно, приравнивается к ${\displaystyle \pi }$, а граничная рабочая частота диода f_пр — к

${\displaystyle f={1 \over {2\ \tau }}}$[23]

В реальных схемах предельная рабочая частота может быть ещё ниже из-за влияния паразитной ёмкости диода и паразитных ёмкостей и индуктивностей монтажа. С ростом частоты в диоде могут возникать резонансные явления, поэтому рабочая частота диода f_р не должна превышать частоты его собственного резонанса f₀:

${\displaystyle f_{p}\leqslant f_{0}={1 \over {2\pi {\sqrt {L\ C_{ac}}}}}}$ [24]

При типичной индуктивности монтажа L в 0,01 мкГн[24] и типичной ёмкости монтажа в 10 пФ резонансная частота составляет 500 МГц.

В 1919 году М. А. Бонч-Бруевич предложил модель триода (в работах Бонч-Бруевича — «катодного реле»), в которой триод замещался эквивалентным диодом. Анодный ток в этой модели равнялся току эквивалентного диода, к которому приложено расчётное действующее напряжение — взвешенная сумма напряжений на аноде U_a и на сетке U_c:

${\displaystyle I_{a}=g_{Tc}\ {\left(U_{c}+D\ U_{a}\right)}^{3 \over 2}}$, или

${\displaystyle I_{a}=g_{Ta}\ {\left(U_{a}+\mu \ U_{c}\right)}^{3 \over 2}}$,

где ${\displaystyle \mu }$ — коэффициент усиления триода по напряжению, а обратная ему D — проницаемость сетки.

Из формул следует, что вольт-амперные характеристики для различных U_c идентичны и отличаются только сдвигом вдоль оси напряжения. При запирающем сеточном напряжении ${\displaystyle U_{c}=-U_{a}/\mu }$ анодный ток прерывается. Характеристики реальных ламп в целом соответствуют теории, но их наклон и сдвиг непостоянны, а отсечка тока при запирающих напряжениях имеет плавный, «затянутый» характер[25].

Закон трёх вторых не применим в области отрицательных и малых положительных (единицы В) анодных напряжений. Из закона следует, что при нулевом напряжении ток анода должен быть равен нулю, а при отрицательном напряжении формула трёх вторых вообще не определена. В реальных диодах при нулевом анодном напряжении уже течёт ненулевой ток электронов от катода к аноду — именно это явление, открытое в 1882 Элстером и Гайтелем и в 1883 Эдисоном, и научно интерпретированное в 1889 году Флемингом, Уильям Прис назвал «эффектом Эдисона»[28][29][30]. Полная отсечка тока наступает только тогда, когда анодное напряжение опускается на несколько В ниже нуля. Например, в шумовом диоде прямого накала 2Д2С ток анода возникает при анодном напряжении около −2 В, а при нулевом анодном напряжении ток достигает величины 200 мкА при напряжении накала 1,5 В (100 мкА при напряжении накала 1,2 В)[31].

Сдвиг характеристики диода влево на −1,5 В может быть объяснён неэквипотенциальностью катода прямого накала. Eщё в 1914 году Уилсон, анализируя ВАХ прямонакальных диодов, предложил уточнённую модель, основанную на формуле Чайлда[32]. В модели Уилсона ток на начальном участке ВАХ пропорционален напряжению в степени 5/2, а в области средних напряжений ВАХ совпадает с законом трёх вторых[33]. Дополнительный сдвиг характеристики влево на −0,5 В в рамках модели Чайлда объяснить невозможно. Этот сдвиг — следствие ненулевых начальных скоростей и тепловой диффузии электронов. Ток, текущий «сам по себе» в диоде с заземлённым анодом — это ток быстрых электронов, способных преодолеть потенциальную яму пространственного заряда. При напряжении накала 1,5 В ток эмиссии катода 2Д2С составляет около 40 мА, а средняя кинетическая энергия эмитируемых электронов составляет около 1 эВ. Ток эмиссии постоянно поддерживает отрицательный пространственный заряд, сосредоточенный вблизи катода, дно потенциальной ямы располагается на расстоянии от 0,01 до 0,1 мм от границы катод-вакуум. Абсолютное большинство испущенных электронов возвращаются назад, на катод, но относительно быстрые электроны преодолевают потенциальную яму, попадают в слабое поле анода и притягиваются к нему. Энергия, движущая эти электроны, заимствуется не от источника анодного напряжения, а от источника тока накала[34].

При анодных напряжениях порядка нескольких В и более (но до перехода в режим насыщения) закон достаточно точно описывает свойства реальных диодов. В этой области наблюдаются два рода отклонений от идеальной модели:

• В модели Чайлда первеанс диода не зависит от температуры катода. В реальных лампах с ростом температуры первеанс увеличивается из-за неоднородного распределения температуры по длине катода. Концы катода, закреплённые в несущих траверсах внутриламповой арматуры, всегда холоднее его средней части. При недостаточном накале эмиссия сосредоточена в средней части катода, а первеанс существенно меньше расчётного. С ростом тока накала длина горячей средней части катода и эффективная поверхность анода растут, и первеанс приближается к расчётному[35].
• В модели Чайлда энергия электронов при пересечении границы катод-вакуум приравнена к нулю. В действительности, электроны покидают катод с ненулевой скоростью: типичная кинетическая энергия эмитируемого электрона составляет порядка 1 эВ, поэтому реальные вольт-амперные кривые сдвинуты влево относительно расчётных на ту же величину. При напряжении на аноде в десятки В этим сдвигом можно пренебречь[36].

C ростом анодного напряжения ток анода, определяемый законом трёх вторых, приближается к значению тока эмиссии. Вблизи предельного значения закон трёх вторых перестаёт действовать, рост анодного тока замедляется, а при достижении предела прекращается. Повышение тока накала катода увеличивает его температуру и ток эмиссии. «Полка» вольт-амперной характеристики сдвигается вверх, в область бо́льших токов, а восходящая ветвь, описываемая законом трёх вторых, в теории остаётся неизменной. В действительности, как показано выше, с ростом температуры катода восходящая ветвь также сдвигается вверх[35].

Упрощённая модель, положенная в основу закона степени трёх вторых, не даёт представления о характере перелома вольт-амперной характеристики при переходе в режим насыщения. В реальных диодах переходная зона растянута, её ширина на графике ВАХ сопоставима с шириной области, в которой кривая следует закону степени трёх вторых. Плавный переход — следствие различных явлений, не вписывающихся в идеальную модель Чайлда:

• В лампах прямого накала наибольший вклад вносит неэквипотенциальность катода, к концам которого приложено постоянное или переменное напряжение накала[27];
• Катоды всех типов нагреваются неравномерно. Относительно холодные концы катода переходят в режим насыщения раньше, чем его горячая средняя часть[37];
• Ток эмиссии реальных катодов зависит не только от температуры, но также от напряжённости поля вблизи катода, которая в свою очередь определяется напряжением на аноде[27].

В первом приближении насыщение тока можно считать абсолютным: ток насыщения идеального диода не зависит от напряжения на аноде. В реальных приборах в режиме насыщения ток анода медленно растёт с ростом анодного напряжения. Это явление связано с эффектом Шоттки: с ростом напряжённости поля работа выхода электрона из катода уменьшается, что приводит к росту тока эмиссии[38]. В оксидных катодах, пористая поверхность которых образована спеканием гранул оксидов бария, стронция и кальция, прирост эмиссионного тока особенно велик из-за неоднородностей поверхности[27][39]. Фактически можно утверждать, что оксидные катоды вообще не насыщаются[40].

• Батушев, В. А. Электронные приборы. — М.: Высшая школа, 1969. — 608 с. — 90,000 экз.
• Дулин В. Н., Аваев Н. А., Демин В. П. и др. Электронные приборы / Под ред. Г. Г. Шишкина.. — М.: Энергоатомиздат, 1989. — 496 с. — ISBN 5-283-01472-X.
• Добрецов Л. Н. Электронная и ионная эмиссия. — М.;Л.: Гос. изд-во технико-теорет. лит., 1952. — 312 с.
• Иориш, А. Е., Кацман, Я. А., Птицын, С. В. Основы технологии производства электровакуумных приборов. — М. - Л.: Госэнергоиздат, 1961. — 516 с. — 14,000 экз.
• Рейх, Г. Дж. Теория и применение электронных приборов. — Л.: Госэнергоиздат, 1948. — 940 с. — 7,000 экз.
  • перевод с англ. Reich, Herbert J. Theory and applications of electron tubes. — 2-nd ed. — McGraw-Hill Book Company, Inc, 1944. — 716 с.

• Van der Bijl, H. The Thermionic Vacuum Tube-Physics and Electronics. — McGraw-Hill, 1920.
• Nottingham, W. Thermionic Emission. — Massachussets Institute of Technology, 1956. — 178 p.