Задача Римана о распаде произвольного разрыва

Задача Римана о распаде произвольного разрыва — задача о построении аналитического решения нестационарных уравнений механики сплошных сред, в применении к распаду произвольного разрыва[1]. Полностью решена в ограниченном круге частных случаев — для уравнений газовой динамики идеального газа и некоторых более точных приближений (т. н. газ с двучленным уравнением состояния) и уравнений теории мелкой воды. Решение для уравнений магнитной газовой динамики построимо, по всей видимости, вплоть до необходимости численного решения одного достаточно сложного обыкновенного дифференциального уравнения.

Постановка

Решается одномерная задача о распаде разрыва — то есть полагается, что до начального момента времени две области пространства с различными значениями термодинамических параметров (для газовой динамики это плотность, скорость и давление газа) были разделены тонкой перегородкой, а в начальный момент времени перегородку убирают. Требуется построить решение (то есть зависимость всех термодинамических параметров от времени и координаты) при произвольных начальных значениях переменных.

Решение задачи о распаде произвольного разрыва состоит в определении газодинамического течения, возникающего при . Другими словами, речь идет о решении задачи Коши для уравнений газовой динамики, в которой начальные условия заданы в виде описанного выше произвольного разрыва.

Решение

Решение задачи Римана для идеального изначально покоящего газа с показателем адиабаты и относительным скачком давления и плотности . По оси абсцисс отложена автомодельная переменная (безразмерная координата), по оси ординат — давление, плотность и скорость в относительных единицах. Слева направо: покоящийся газ, волна разрежения, контактный разрыв, ударная волна, покоящийся газ.

Оказывается, что для систем уравнений, записываемых в дивергентной форме, решение будет автомодельным.

Решение ищется в виде набора элементарных волн, определяющегося структурой системы уравнений. В частности, для газовой динамики это: ударная волна, волна разрежения, контактный разрыв. Приведём решение в явном виде для частного случая покоящегося идеального газа с показателем адиабаты . Пусть в начальный момент давление , плотность и скорость имеют вид:

и — волна идёт направо. Тогда в произвольный момент времени решение имеет вид

Невозмущённое вещество Волна разрежения Область между фронтом волны разрежения и контактным разрывом Область между контактным разрывом и фронтом ударной волны Невозмущённое вещество

Здесь — скорость звука в невозмущенной среде слева, , , , — параметры газа и скорость звука между фронтом ударной волны и контактным разрывом, , , — параметры газа между контактным разрывом и ударной волной, — скорость ударной волны. Эти пять параметров определяются из нелинейной системы уравнений, отвечающих законам сохранения энергии, массы и импульса:

Первые три уравнения здесь соответствуют соотношениям Гюгонио для идеального газа[2], четвёртое и пятое — соотношениям в волне разрежения[3].

Применение

Решение задачи Римана находит применение в численных методах при решении нестационарных задач с большими разрывами. Именно на решении (точном или приближенном) задачи Римана о распаде разрыва основывается метод Годунова решения систем нестационарных уравнений механики сплошной среды.

Примечания

  1. Riemann, Bernhard. über die Fortpflanzung ebener Luftwellen von endlicher Schwingungsweite (Deutsch) // Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften in Göttingen. — 1860. Т. 8. С. 43-66.
  2. Зельдович Я. Б., Райзер Ю. П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. — Москва: Наука, 1966. — С. 51. — 688 с.
  3. Зельдович Я. Б., Райзер Ю. П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. — Москва: Наука, 1966. — С. 41. — 688 с.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.