Ударная адиабата

Рассмотрим законы сохранения на стационарной ударной волне в такой системе отсчёта, в которой ударный фронт покоится:

${\displaystyle \rho _{1}u_{1}=\rho _{2}u_{2}=j,}$

${\displaystyle p_{1}+\rho _{1}u_{1}^{2}=p_{2}+\rho _{2}u_{2}^{2},}$

${\displaystyle h_{1}+{\frac {1}{2}}u_{1}^{2}=h_{2}+{\frac {1}{2}}u_{2}^{2}.}$

Здесь ${\displaystyle \rho }$ — плотность газа, ${\displaystyle u}$ — скорость газа относительно ударной волны, ${\displaystyle h}$ — удельная энтальпия газа, ${\displaystyle j}$ — поток массы через разрыв, индексами «1» и «2» обозначены состояния до и после ударной волны.

Выразим скорость в последнем равенстве через поток массы ${\displaystyle u=j/\rho }$, получим уравнение:

${\displaystyle h_{2}-h_{1}+{\frac {j^{2}}{2}}\left({\frac {1}{\rho _{2}^{2}}}-{\frac {1}{\rho _{1}^{2}}}\right)=0.}$

Исключая из него j с помощью равенства, известного под названием прямая или луч Рэлея — Михельсона (название связано с тем, что это уравнение задаёт прямую линию на плоскости ${\displaystyle (p,V)}$, где ${\displaystyle V=1/\rho }$ — удельный объём):

${\displaystyle j^{2}=-{\frac {p_{2}-p_{1}}{V_{2}-V_{1}}},}$

приходим к соотношению Ранкина — Гюгонио:

Если выразить энтальпию через внутреннюю энергию ${\displaystyle \varepsilon }$ как ${\displaystyle h=\varepsilon +pV}$, то уравнение Ранкина — Гюгонио переходит в следующее выражение:

${\displaystyle \varepsilon _{2}-\varepsilon _{1}-{\frac {\left(p_{2}+p_{1}\right)}{2}}\left(V_{1}-V_{2}\right)=0.}$

Переход вещества через ударную волну является термодинамически необратимым процессом, поэтому при прохождении через вещество ударной волны удельная энтропия увеличивается. Так, для слабых ударных волн в совершенном газе рост энтропии пропорционален кубу относительного роста давления ${\displaystyle (p_{2}-p_{1})/p_{1}.}$

Увеличение энтропии означает наличие диссипации (внутри ударной волны, являющейся узкой переходной зоной, существенны, в частности, вязкость и теплопроводность). Это, в частности, приводит к тому, что тело, движущееся в идеальной жидкости с возникновением ударных волн, испытывает силу сопротивления, то есть для такого движения парадокс Д'Аламбера не имеет места.

Часто ударной адиабатой Гюгонио называют кривую в плоскости ${\displaystyle (p,V)}$ или ${\displaystyle (p,\rho )}$, определяющую зависимость ${\displaystyle p_{2}}$ от ${\displaystyle \rho _{2}}$ при заданных начальных значениях ${\displaystyle p_{1}}$ и ${\displaystyle \rho _{1}}$. При заданных ${\displaystyle p_{1}}$ и ${\displaystyle \rho _{1}}$ ударная волна, перпендикулярная потоку, определяется всего одним параметром (наклонная ударная волна характеризуется дополнительно значением касательной к её поверхности составляющей скорости): например, если задать ${\displaystyle p_{2}}$, то по адиабате Гюгонио можно найти ${\displaystyle \rho _{2}}$, а отсюда с использованием вышеприведённых формул — плотность потока ${\displaystyle j}$ и скорости ${\displaystyle u_{1}}$ и ${\displaystyle u_{2}}$, а из уравнения состояния — температуру и т. д.

Ударную адиабату не следует путать с адиабатой Пуассона, описывающей процесс с постоянной энтропией ${\displaystyle s}$, то есть такие процессы термодинамически обратимы.

В отличие от адиабаты Пуассона, для которой ${\displaystyle s(\rho ,p)=\mathrm {const} }$, уравнение ударной адиабаты нельзя написать в виде ${\displaystyle f(\rho ,p)=\mathrm {const} }$, где ${\displaystyle f}$ — однозначная функция двух аргументов: адиабаты Гюгонио для заданного вещества составляют двухпараметрическое семейство кривых (каждая кривая определяется заданием как ${\displaystyle p_{1}}$, так и ${\displaystyle \rho _{1}}$), тогда как адиабаты Пуассона — однопараметрическое.

• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Гидродинамика. — Издание 4-е, стереотипное. — М.: Наука, 1988. — 736 с. — («Теоретическая физика», том VI). — С. 456—459 (§ 85).
• Крайко А. Н. Краткий курс теоретической газовой динамики. — М.: МФТИ, 2007. — С. 300. — ISBN 978-5-7417-0229-1.
• Ловля С. А. и др. Закон сохранения энергии // Взрывное дело. — Изд. 2-е. — Москва: Недра, 1976. — С. 37.