Жёсткая система

Рассмотрим задачу Коши для автономной системы ОДУ вида

${\displaystyle {\begin{cases}{\dfrac {d\mathbf {y} (x)}{dx}}=\mathbf {F} (\mathbf {y} (x)),\quad \mathbf {F} (\mathbf {y} )\in C^{p}(\Omega ),\quad \Omega \subset \mathbb {R} ^{m},\\\mathbf {y} (x_{0})=\mathbf {y} _{0}\in \Omega ,\end{cases}}}$

(1)

где ${\displaystyle \mathbf {y} (x)}$ — неизвестная вектор-функция, ${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {y} )}$ — заданная вектор-функция, ${\displaystyle x}$ — независимая переменная, ${\displaystyle \mathbf {y} (x_{0})=\mathbf {y} _{0}}$ — начальное условие.

Система (1) называется жёсткой, если для любых начальных значений ${\displaystyle \mathbf {y} (x_{0})=\mathbf {y} _{0}}$ на заданном отрезке ${\displaystyle [x_{0},\;x_{\mathrm {end} }]}$, принадлежащем интервалу существования решения (1), выполнены условия:

• максимальный модуль собственных значений матрицы Якоби (спектральный радиус ${\displaystyle \rho }$) ограничен вдоль решения ${\displaystyle \mathbf {y} (x)}$:

${\displaystyle 0<L\leqslant \rho \left({\frac {\partial \mathbf {y} (x)}{\partial x}}\right)\leqslant \left\|{\frac {\partial \mathbf {y} (x)}{\partial x}}\right\|=\left\|\left.{\frac {\partial K(x+\xi ,\;x)}{\partial \xi }}\right|_{\xi =0}\right\|<+\infty ,\quad x_{0}\leqslant x\leqslant x_{\mathrm {end} };}$

• существуют такие числа ${\displaystyle \xi _{\mathrm {b} }}$, ${\displaystyle N}$, ${\displaystyle \nu }$, которые удовлетворяют условиям:

${\displaystyle 0<\xi _{\mathrm {b} }\ll x_{\mathrm {end} },\quad N\gg 1,\quad 1\leqslant \nu \leqslant p,\quad 0<\xi _{\mathrm {b} }\leqslant x+\xi _{\mathrm {b} }\leqslant x+\xi \leqslant x_{\mathrm {end} };}$

• справедливо следующие неравенство:

${\displaystyle \left\|{\frac {\partial ^{\nu }K(x+\xi ,\;x)}{\partial \xi ^{\nu }}}\right\|\leqslant \left({\frac {L}{N}}\right)^{\nu }.}$

Здесь

${\displaystyle K(x+\xi ,\;x)=X(x+\xi )X^{-1}(x);}$

${\displaystyle X(x)}$ — фундаментальная матрица уравнения в вариациях для системы (1);

${\displaystyle \|A\|=\|A\|_{m}=\max _{i}\sum _{j=1}^{m}|a_{ij}|}$ — матричная ${\displaystyle m}$-норма.

${\displaystyle \xi _{\mathrm {b} }}$ — так называемая длина (параметр) пограничного слоя.

К жёстким дифференциальным системам ОДУ также относятся системы, для которых эти условия выполняются после масштабирования компонент вектора ${\displaystyle \mathrm {y} (x)}$ на каждом решении.

Так как любую неавтономную систему ОДУ порядка ${\displaystyle m}$ можно свести к автономной, введя дополнительную вспомогательную функцию, то неавтономная система ОДУ называется жёсткой, если жёсткой является равносильная ей автономная система порядка ${\displaystyle m+1}$.

• Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи / Пер. с англ. — М.: Мир, 1999. — 685 с. — ISBN 5-03-003117-0..
• Curtiss C. F., Hirschfelder J. О. Integration of stiff equations // Proceedings of the National Academy of Sciences of the USA. — 1952. — vol. 38(3). — pp. 235—243.

• Жесткие системы ОДУ
• Обыкновенные дифференциальные уравнения. Занятие 15. Жесткие системы дифференциальных уравнений. Теоретическая справка