Дискретный выбор

Модели бинарного выбора описывают выбор между двумя альтернативами. Это формализуется с помощью переменной ${\displaystyle y}$, принимающей 0 для одной альтернативы и 1 для другой. Для такой переменной математическое ожидание равно вероятности ${\displaystyle p}$ выбора «единицы». Вероятность выбора «нуля» равна ${\displaystyle 1-p}$.

Пусть ${\displaystyle x}$ — набор факторов, от которых может зависеть выбор. Предполагается, что выбор определяется некоторым неявным механизмом, связанным с тем, превышает или нет некоторая неявная переменная ${\displaystyle y^{*}}$, зависящая от факторов ${\displaystyle x}$, некоторое пороговое значение. Без потери общности в качестве порогового значения всегда можно использовать 0. Зависимость неявной переменной от факторов является вероятностной, так как при моделировании выбора выбираются не все возможные факторы, а лишь наиболее существенные, поэтому в модели имеется случайная компонента. Обычно для ${\displaystyle y^{*}}$ предполагается модель линейной регрессии по факторам ${\displaystyle x}$:

${\displaystyle y^{*}=x^{T}b+\varepsilon }$

где ${\displaystyle b}$ — параметры модели (в том числе обязательно константа ${\displaystyle b_{0}}$) ${\displaystyle \varepsilon }$ — случайная компонента.

Выбор осуществляется следующим образом: если ${\displaystyle y^{*}>0}$ то выбирается альтернатива ${\displaystyle y=1}$, иначе — ${\displaystyle y=0}$. Следовательно искомая вероятность ${\displaystyle p}$ равна:

${\displaystyle p=P(y^{*}>0)=P(x^{T}b+\varepsilon >0)=P(\varepsilon >-x^{T}b)=1-P(\varepsilon <-x^{T}b)=1-F(-x^{T}b)}$

где ${\displaystyle F}$ — функция распределения случайной компоненты ${\displaystyle \varepsilon }$.

При этом функция распределения может быть определена с точностью до некоторых неизвестных параметров ${\displaystyle \theta }$, которые тоже подлежат оценке на основе статистических данных вместе с параметрами ${\displaystyle b}$. Если распределение симметричное, то есть ${\displaystyle 1-F(-z)=F(z)}$, то модель бинарного выбора принимает вид:

${\displaystyle p=F(x^{T}b)}$

В качестве функций распределения чаще всего используются нормальное распределение (пробит-модель) или логистическое распределение (логит-модель).

Во многих случаях приходится иметь дело не с двумя, а с несколькими альтернативами. В таком случае говорят о моделях множественного выбора. Задача этих моделей — оценить вероятности ${\displaystyle p_{i}}$ выбора различных альтернатив (${\displaystyle i=1..k}$). В случае, если эти альтернативы можно упорядочить каким-либо образом, то говорят о моделях упорядоченного выбора.

• Модель бинарного выбора
• Модель упорядоченного выбора
• Счетная модель
• Усеченная регрессия
• Цензурированная регрессия