Модель упорядоченного выбора

Пусть ${\displaystyle y}$ — наблюдаемая дискретная переменная с ${\displaystyle q}$ возможными упорядоченными значениями, которые для упрощения можно принять равными целым числам от ${\displaystyle 0}$ до ${\displaystyle q-1}$ (или от ${\displaystyle 1}$ до ${\displaystyle q}$). Пусть также ${\displaystyle x}$-вектор факторов, влияющих на значение зависимой переменной. Предполагается, что существует «обычная» (недискретная) скрытая переменная ${\displaystyle y^{*}}$, также зависящая от этих факторов, в зависимости от значений которой зависимая переменная принимает те или иные значения. Соответственно необходимо определить (их можно либо задать априорно, либо оценить вместе с другими параметрами модели) несколько пороговых значений скрытой переменной следующим образом:

${\displaystyle y={\begin{cases}1,y^{*}\leqslant c_{1}\\2,c_{1}<y^{*}\leqslant c_{2}\\3,c_{2}<y^{*}\leqslant c_{3}\\...\\q,y^{*}>c_{q-1}\end{cases}}}$

Соответственно, если обозначить ${\displaystyle p_{i}=P(y=i|X=x)}$, ${\displaystyle i=1...q}$, то

${\displaystyle p_{i}=P(c_{i-1}<y^{*}\leqslant c_{i})}$.

где ${\displaystyle c_{0}=-\infty }$, ${\displaystyle c_{q}=\infty }$.

Для скрытой переменной предполагается обычная линейная модель регрессии по факторам модели: ${\displaystyle y^{*}=x^{T}b+\varepsilon }$. Обозначим интегральную функцию распределения случайной ошибки этой модели через ${\displaystyle F}$. Тогда

${\displaystyle p_{i}=P(c_{i-1}<y^{*}\leqslant c_{i})=P(c_{i-1}-x^{T}b<\varepsilon \leqslant c_{i}-x^{T}b)=F(c_{i}-x^{T}b)-F(c_{i-1}-x^{T}b)}$

С учетом того, что ${\displaystyle F(c_{0}-x^{T}b)=0}$, ${\displaystyle F(c_{q}-x^{T}b)=1}$ фактически модель упорядоченного выбора можно записать следующим образом:

${\displaystyle {\begin{cases}p_{1}=F(c_{1}-x^{T}b)\\p_{2}=F(c_{2}-x^{T}b)-F(c_{1}-x^{T}b)\\p_{3}=F(c_{3}-x^{T}b)-F(c_{2}-x^{T}b)\\...\\p_{q}=1-F(c_{q-1}-x^{T}b)\end{cases}}}$

В качестве распределения ${\displaystyle F}$ обычно используют либо нормальное распределение (упорядоченный пробит), либо логистическое распределение (упорядоченный логит)

Оценка параметров модели (включая пороговые значения) производится обычно методом максимального правдоподобия. Логарифмическая функция правдоподобия равна:

${\displaystyle l(b,c)=\sum _{i=1}^{q}\sum _{\forall t,y_{t}=i}\ln p_{i}(x_{t})}$

Максимизация этой функции по неизвестным параметрам b и c и позволяет найти соответствующие оценки ММП.

• Пробит-регрессия
• Логистическая регрессия