Дискретная теорема Грина
В дифференциальных исчислениях существует дискретная версия теоремы Грина, которая описывает отношение между двойным интегралом функции для обобщенной прямоугольной области D (область, которая образуется из конечного суммирования прямоугольников на плоскости) и линейной комбинации первообразной функции, заданной в углах области. В этом значении мы будем рассматривать популярную версию дискретной теоремы Грина.[1][2]
Теорема названа в честь британского математика Джорджа Грина, из-за сходства с его теоремой, теоремой Грина: обе теоремы описывают связь между интегрированием по кривой и интегрированием по области, ограниченной кривой.
История
Теорема была впервые представлена как непрерывное продолжение алгоритма Ванга "Интегральное представление изображений", в 2007 году на Международной конференции по компьютерному видению ICCV [1], а затем вновь была опубликована профессором Doretto и его коллегами [3] в рецензируемом журнале в 2011 году.
Теорема
![](../I/Alpha_D_according_to_corner.jpg.webp)
Предположим что ƒ является интегрируемой функцией на плоскости R2, так что:
является её первообразной функцией. Пусть — обобщенная прямоугольная область. Тогда представим теорему как:
где - множество углов данной области D , является дискретным параметром с возможными значениями {0, ±1, ±2}, которые определяются в зависимости от типа угла, как показано на рисунке справа. Этот параметр является частным случаем стремления кривой [4], которая последовательно определяется при помощи одностороннего разрыва [5] кривой в углах заданной области.
Эта теорема является естественным продолжением алгоритма таблицы обобщённой области. Эта теорема расширяет алгоритм в том смысле, что область может быть непрерывной и она может быть сформирована из (конечного) числа прямоугольников, тогда как в алгоритме таблицы обобщённой области предполагается, что область является единым прямоугольником.
Дискретная теорема Грина также обобщает теорему Ньютона-Лейбница.
Концепция доказательства
Для доказательства теоремы можно применить формулу из алгоритма "Интегрального представление изображений" которая включает в себя прямоугольники образующие данную область:
Это изображение показывает, как + \ — коэффициенты первоначальной функции взаимно сокращаются в прямоугольниках, кроме точек расположенных в углах данной области.
Пример
Предположим что функция ƒ, задана на плоскости R2 , тогда F является её первообразной функцией. Пусть D — это область, окрашенная зелёным на следующем рисунке:
Согласно теореме, примененимой к данной области, получается следующее выражение:
Приложения
Дискретная теорема Грина используется в компьютерных приложениях по обнаружению объектов на изображениях и их быстрого вычисления, а также в интересах эффективного расчета вероятностей.
Обобщения
В 2011 году были предложены два обобщения к теореме:
- Подход, предложенний профессором Фам и его коллегами: обобщение теоремы полигональных областей с помощью динамического программирования [6].
- Подход, предложенный математиком Шахар: обобщение теоремы на более широкий спектр областей при помощью оператора разрыва [5] и метода интегрирования наклонной линии [7] при помощи которых и была сформулирована дискретная теорема Грина [8].
См. также
Примечания
- Wang, Xiaogang; Doretto, Gianfranco; Sebastian, Thomas; Rittscher, Jens; Tu, Peter. «Shape and Appearance Context Modeling». in Proceedings of IEEE International Conference on Computer Vision (ICCV) 2007. Архивная копия от 16 июля 2011 на Wayback Machine
- Finkelstein, Amir (2010). «A Discrete Green's Theorem». Wolfram Demonstrations Project.
- Doretto, Gianfranco; Sebastian, Thomas; Rittscher, Jens; Tu, Peter. «Appearance-based person reidentification in camera networks: Problem overview and current approaches». Journal of Ambient Intelligence and Humanized Computing, pp. 1–25, Springer Berlin / Heidelberg, 2011.
- Finkelstein, Amir (2010). «Tendency of a Curve». Wolfram Demonstrations Project.
- Finkelstein, Amir (2010). «Detachment and Tendency of a Single Variable Function». Wolfram Demonstrations Project.
- Pham, Minh-Tri; Yang Gao; Viet-Dung D. Hoang; Tat-Jen Cham. «Fast Polygonal Integration and Its Application in Extending Haar-like Features to Improve Object Detection». Proc. of the IEEE Conference on Computer Vision and Pattern Recognition (CVPR), San Francisco, CA, 2010.. Архивная копия от 2 сентября 2011 на Wayback Machine
- Finkelstein, Amir (2010). «Extended Discrete Green's Theorem». Wolfram Demonstrations Project.
- Shachar, Amir. «On a Relation Between the Integral Image Algorithm and Calculus». arXiv:1005.1418v11[cs.DM], 2011. (недоступная ссылка)