Двустороннее преобразование Лапласа

Если ${\displaystyle f(t)}$ является вещественной или комплексной функцией действительной переменной ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$, то двустороннее преобразование Лапласа ${\displaystyle {\mathcal {B}}\left\{f(t)\right\}}$ задаётся формулой

${\displaystyle {\mathcal {B}}\left\{f(t)\right\}=F(s)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.}$

Интеграл в этом определении подразумевается несобственным и сходящимся тогда, когда существуют ${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt\\\\\int _{-\infty }^{0}e^{-st}f(t)\,dt\end{matrix}}\right.}$

Иногда двусторонние преобразования записывают в виде

${\displaystyle {\mathcal {T}}\left\{f(t)\right\}=s{\mathcal {B}}\left\{f\right\}=sF(s)=s\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.}$

Вообще, переменная ${\displaystyle t}$ может быть как вещественной, так и комплексной величиной.

• Если ${\displaystyle u(t)}$ — функция Хевисайда, то обычное преобразование Лапласа ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ может быть выражено через двустороннее формулой

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}={\mathcal {B}}\left\{f(t)u(t)\right\}.}$

И обратно: из двустороннего преобразования можно получить обычное по формуле

${\displaystyle \left\{{\mathcal {B}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {L}}f(t)\right\}(s)+\left\{{\mathcal {L}}f(-t)\right\}(-s).}$

• Преобразование Меллина может быть выражено через двустороннее преобразование Лапласа формулой

${\displaystyle \left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {B}}f(e^{-x})\right\}(s)}$

И обратно: из двустороннего преобразования можно получить преобразование Меллина по формуле

${\displaystyle \left\{{\mathcal {B}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {M}}f(-\ln x)\right\}(s).}$

• Преобразование Фурье может быть определено через двустороннее преобразование Лапласа формулой

${\displaystyle \left\{{\mathcal {B}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {F}}f\right\}(-is).}$

• LePage, Wilbur R., Complex Variables and the Laplace Transform for Engineers, Dover Publications, 1980
• van der Pol, Balthasar, and Bremmer, H., Operational Calculus Based on the Two-Sided Laplace Integral, Chelsea Pub. Co., 3rd edition, 1987